ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 216 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) корни уравнения \(x^2 — 2ax + a^2 — 4 = 0\) меньше числа 5?

Уравнение \(x^2 — 2ax + a^2 — 4 = 0\) можно переписать как \((x — a)^2 = 4\). Значит, \(x — a = \pm 2\), откуда \(x_1 = a — 2\), \(x_2 = a + 2\).

Требуется, чтобы оба корня были меньше 5:

\(a — 2 < 5\), значит \(a < 7\).

\(a + 2 < 5\), значит \(a < 3\).

Ответ: \(a \in (-\infty; 3)\).

Дано уравнение \(x^2 — 2ax + a^2 — 4 = 0\). Это квадратное уравнение, где коэффициенты зависят от параметра \(a\).

Перепишем выражение в виде полного квадрата. Заметим, что \(x^2 — 2ax + a^2\) равно \((x — a)^2\). Значит, уравнение можно представить как \((x — a)^2 — 4 = 0\).

Добавим 4 к обеим частям уравнения: \((x — a)^2 = 4\).

Из этого следует, что \(x — a = \pm 2\), то есть \(x — a = 2\) или \(x — a = -2\).

Отсюда находим два корня: \(x_1 = a — 2\) и \(x_2 = a + 2\).

По условию задачи оба корня должны быть меньше 5. Значит, необходимо выполнить неравенства \(x_1 < 5\) и \(x_2 < 5\).

Подставим значения корней: \(a — 2 < 5\) и \(a + 2 < 5\).

Решим первое неравенство: \(a — 2 < 5\) означает \(a < 7\).

Решим второе неравенство: \(a + 2 < 5\) означает \(a < 3\).

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, \(a\) должен удовлетворять более строгому ограничению, то есть \(a < 3\).

Ответ: \(a \in (-\infty; 3)\).