ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 217 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) корни уравнения \(x^2 — (4a — 2)x + 3a^2 — 4a + 1 = 0\) принадлежат промежутку \([-2; 8]\)?

Корни уравнения: \(x_1 = a — 1\), \(x_2 = 3a — 1\).

По условию: \(-2 \leq x_1 \leq 8\) и \(-2 \leq x_2 \leq 8\).

1) Для \(x_1\):
\(-2 \leq a — 1 \leq 8\)
Добавим 1:
\(-1 \leq a \leq 9\)

2) Для \(x_2\):
\(-2 \leq 3a — 1 \leq 8\)
Добавим 1:
\(-1 \leq 3a \leq 9\)
Разделим на 3:
\(-\frac{1}{3} \leq a \leq 3\)

Пересечение интервалов:
\(a \in \left[-\frac{1}{3}; 3\right]\)

Дано уравнение \(x^2 — (4a — 2)x + 3a^2 — 4a + 1 = 0\). Найдём корни этого уравнения по формуле корней квадратного уравнения.

Сначала вычислим дискриминант \(D\):
\(D = (4a — 2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 — 4a + 1)\).
Раскроем скобки:
\(D = 16a^2 — 16a + 4 — 12a^2 + 16a — 4 = 4a^2\).

Корни уравнения будут равны:
\(x_{1,2} = \frac{4a — 2 \pm \sqrt{4a^2}}{2} = \frac{4a — 2 \pm 2a}{2}\).

Рассчитаем каждый корень отдельно:
\(x_1 = \frac{4a — 2 — 2a}{2} = \frac{2a — 2}{2} = a — 1\),
\(x_2 = \frac{4a — 2 + 2a}{2} = \frac{6a — 2}{2} = 3a — 1\).

Теперь по условию оба корня должны лежать в промежутке от \(-2\) до \(8\), то есть:
\(-2 \leq x_1 \leq 8\) и \(-2 \leq x_2 \leq 8\).

Подставим выражения корней:
Для \(x_1 = a — 1\) имеем:
\(-2 \leq a — 1 \leq 8\).
Добавим 1 ко всем частям неравенства:
\(-1 \leq a \leq 9\).

Для \(x_2 = 3a — 1\) имеем:
\(-2 \leq 3a — 1 \leq 8\).
Добавим 1:
\(-1 \leq 3a \leq 9\).
Разделим все части на 3:
\(-\frac{1}{3} \leq a \leq 3\).

Пересечём оба интервала для \(a\):
\(a \in [-1; 9]\) и \(a \in \left[-\frac{1}{3}; 3\right]\).
Пересечение этих множеств — это \(a \in \left[-\frac{1}{3}; 3\right]\).

Ответ: \(a \in \left[-\frac{1}{3}; 3\right]\).