ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 219 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(\frac{x^2}{x^2 — 16} = \frac{3x + 4}{x^2 — 16};\)
2) \(\frac{5}{x — 3} — \frac{8}{x} = 3.\)

1) \( \frac{x^2}{x^2 — 16} = \frac{3x + 4}{x^2 — 16} \)
\( x^2 = 3x + 4 \)
\( x^2 — 3x — 4 = 0 \)
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
\( x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)
Проверяем, \( x=4 \) исключаем, так как знаменатель равен нулю.
Ответ: \( -1 \).

2) \( \frac{5}{x — 3} — \frac{8}{x} = 3 \)
Домножаем на \( x(x-3) \):
\( 5x — 8(x-3) = 3x(x-3) \)
\( 5x — 8x + 24 = 3x^2 — 9x \)
\( -3x + 24 = 3x^2 — 9x \)
\( 0 = 3x^2 — 6x — 24 \)
\( x^2 — 2x — 8 = 0 \)
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
\( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)
Ответ: \( -2, 4 \).

1) Рассмотрим уравнение \( \frac{x^2}{x^2 — 16} = \frac{3x + 4}{x^2 — 16} \). Здесь у нас дроби с одинаковым знаменателем \( x^2 — 16 \). Чтобы решить такое уравнение, сначала нужно убедиться, что знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Значит, \( x^2 — 16 \neq 0 \), откуда \( x \neq 4 \) и \( x \neq -4 \).

Поскольку знаменатели равны и не равны нулю, уравнение равносильно равенству числителей: \( x^2 = 3x + 4 \). Переносим все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 — 3x — 4 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта. Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \). Получаем \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). Корни уравнения находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), значит \( x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \).

Теперь проверяем корни на допустимость. При \( x = 4 \) знаменатель \( x^2 — 16 = 0 \), значит этот корень нельзя принимать. Следовательно, единственный корень уравнения — это \( x = -1 \).

2) Рассмотрим уравнение \( \frac{5}{x — 3} — \frac{8}{x} = 3 \). Здесь у нас две дроби с разными знаменателями \( x — 3 \) и \( x \). Чтобы избавиться от дробей, домножим обе части уравнения на общий знаменатель, которым является произведение \( x(x — 3) \). При этом важно помнить, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 3 \), чтобы не делить на ноль.

Домножаем: \( 5 \cdot x — 8 \cdot (x — 3) = 3 \cdot x (x — 3) \). Раскрываем скобки: \( 5x — 8x + 24 = 3x^2 — 9x \). Упрощаем левую часть: \( -3x + 24 = 3x^2 — 9x \). Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 0 = 3x^2 — 9x + 3x — 24 \), что упрощается до \( 3x^2 — 6x — 24 = 0 \).

Делим уравнение на 3 для упрощения: \( x^2 — 2x — 8 = 0 \). Снова вычисляем дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \). Корни уравнения: \( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \).

Проверяем корни на допустимость. При \( x = 0 \) или \( x = 3 \) знаменатель обнуляется, но наши корни — \( -2 \) и \( 4 \), оба подходят. Значит, ответ: \( -2 \) и \( 4 \).