ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Выполняется ли данное неравенство при любых значениях \(a\) и \(b\):

1) \(\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1\);

2) \(\frac{a^2 — b^2}{b^2 + 1} > -1\)?

1) \( \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + 1} > 1 \)

Умножим обе части на \(a^{2} + 1\), которое больше нуля:

\(a^{2} + b^{2} > a^{2} + 1\)

Вычтем \(a^{2}\):

\(b^{2} > 1\)

Это не всегда верно, например, при \(b = 0\).

Ответ: нет.

2) \( \frac{a^{2} — b^{2}}{b^{2} + 1} > -1 \)

Умножим обе части на \(b^{2} + 1\), которое больше нуля:

\(a^{2} — b^{2} > — (b^{2} + 1)\)

Раскроем скобки:

\(a^{2} — b^{2} > -b^{2} — 1\)

Прибавим \(b^{2}\):

\(a^{2} > -1\)

Это всегда верно, потому что \(a^{2} \geq 0\).

Ответ: да.

Рассмотрим первое неравенство \( \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + 1} > 1 \) более подробно. Чтобы упростить выражение и избавиться от дроби, мы умножаем обе части неравенства на знаменатель \(a^{2} + 1\). Важно отметить, что \(a^{2}\) — это квадрат любого числа \(a\), а квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть \(a^{2} \geq 0\). Следовательно, \(a^{2} + 1 > 0\) для всех \(a\), так как к неотрицательному числу прибавляется 1, что гарантирует строго положительное значение. Поскольку мы умножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется, и получаем: \(a^{2} + b^{2} > a^{2} + 1\).

Далее, чтобы упростить выражение, вычтем \(a^{2}\) из обеих частей неравенства. Это действие не изменяет знак неравенства, поскольку мы вычитаем одинаковое число с обеих сторон. Тогда получаем: \(b^{2} > 1\). Это означает, что квадрат числа \(b\) должен быть строго больше единицы. Из этого следует, что \(b\) должен удовлетворять условию \(|b| > 1\), то есть абсолютное значение \(b\) должно быть больше 1. Если \(b\) лежит в интервале \((-1, 1)\), включая ноль, то неравенство не выполняется. Например, при \(b = 0\) имеем \(b^{2} = 0\), что не больше 1, значит, неравенство ложно. Таким образом, первое неравенство не является истинным для всех возможных значений \(a\) и \(b\), оно выполняется только при \(b\), удовлетворяющем условию \(|b| > 1\).

Теперь рассмотрим второе неравенство \( \frac{a^{2} — b^{2}}{b^{2} + 1} > -1 \). Аналогично первому случаю, умножим обе части на знаменатель \(b^{2} + 1\). Поскольку \(b^{2} \geq 0\), то \(b^{2} + 1 > 0\) для всех \(b\), значит знак неравенства при умножении не изменится. Получаем: \(a^{2} — b^{2} > — (b^{2} + 1)\). Раскроем скобки справа: \(a^{2} — b^{2} > -b^{2} — 1\). Теперь прибавим \(b^{2}\) к обеим частям, чтобы избавиться от отрицательных слагаемых с \(b^{2}\): \(a^{2} > -1\).

Здесь важно понять, что квадрат любого числа \(a\) неотрицателен, то есть \(a^{2} \geq 0\). Следовательно, \(a^{2}\) всегда больше или равен нулю, а ноль, в свою очередь, больше числа \(-1\). Значит, неравенство \(a^{2} > -1\) выполняется для всех значений \(a\), независимо от \(b\). Это означает, что второе неравенство истинно для любых действительных чисел \(a\) и \(b\).

Итогом анализа является следующий вывод: первое неравенство \( \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + 1} > 1 \) не является верным для всех \(a\) и \(b\), оно требует дополнительного условия на \(b\), а именно \(b^{2} > 1\). Второе неравенство \( \frac{a^{2} — b^{2}}{b^{2} + 1} > -1 \) всегда истинно, так как \(a^{2}\) не может быть меньше \(-1\), что невозможно для квадратов действительных чисел. Таким образом, второе неравенство выполняется для всех значений \(a\) и \(b\), что существенно отличается от первого случая.