ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Выполняется ли данное неравенство при любых значениях \(a\) и \(b\):

1) \(\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1\);

2) \(\frac{a^2 — b^2}{b^2 + 1} > -1\)?

1) \( \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + 1} > 1 \)

Умножим обе части на \(a^{2} + 1\), которое больше нуля:

\(a^{2} + b^{2} > a^{2} + 1\)

Вычтем \(a^{2}\):

\(b^{2} > 1\)

Это не всегда верно, например, при \(b = 0\).

Ответ: нет.

2) \( \frac{a^{2} — b^{2}}{b^{2} + 1} > -1 \)

Умножим обе части на \(b^{2} + 1\), которое больше нуля:

\(a^{2} — b^{2} > — (b^{2} + 1)\)

Раскроем скобки:

\(a^{2} — b^{2} > -b^{2} — 1\)

Прибавим \(b^{2}\):

\(a^{2} > -1\)

Это всегда верно, потому что \(a^{2} \geq 0\).

Ответ: да.

Рассмотрим первое неравенство \( \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + 1} > 1 \). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на знаменатель \(a^{2} + 1\). Поскольку \(a^{2} \geq 0\), то \(a^{2} + 1 > 0\), и знак неравенства не изменится. Получаем: \(a^{2} + b^{2} > a^{2} + 1\).

Вычтем \(a^{2}\) из обеих частей: \(b^{2} > 1\). Это значит, что для выполнения неравенства значение \(b^{2}\) должно быть строго больше 1. Однако, если взять, например, \(b = 0\), то \(b^{2} = 0\), что не удовлетворяет неравенству. Значит, первое неравенство не верно для всех значений \(a\) и \(b\).

Теперь рассмотрим второе неравенство \( \frac{a^{2} — b^{2}}{b^{2} + 1} > -1 \). Аналогично умножим обе части на знаменатель \(b^{2} + 1\). Поскольку \(b^{2} \geq 0\), то \(b^{2} + 1 > 0\), знак неравенства сохраняется. Получаем: \(a^{2} — b^{2} > — (b^{2} + 1)\).

Раскроем скобки: \(a^{2} — b^{2} > -b^{2} — 1\). Прибавим \(b^{2}\) к обеим частям: \(a^{2} > -1\). Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то \(a^{2} \geq 0\), а \(0 > -1\). Значит, это неравенство выполняется для всех значений \(a\) и \(b\).