ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 222 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(a\) — чётное число, \(b\) — нечётное, \(a > b\). Значение какого из данных выражений может быть целым числом:
1) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a};\)
2) \(\frac{a}{b} — \frac{b}{a};\)
3) \(\frac{a}{b};\)
4) \(\frac{b}{a}?\)

Известно: \(a\) — чётное, \(b\) — нечётное, \(a > b\).

1) \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^{2} + b^{2}}{ab}\).
\(a^{2}\) — чётное, \(b^{2}\) — нечётное, значит \(a^{2} + b^{2}\) — нечётное, а \(ab\) — чётное. Деление нечётного на чётное не даёт целое число.
Ответ: нет.

2) \(\frac{a}{b} — \frac{b}{a} = \frac{a^{2} — b^{2}}{ab}\).
\(a^{2}\) — чётное, \(b^{2}\) — нечётное, значит \(a^{2} — b^{2}\) — нечётное, \(ab\) — чётное. Целого числа не получится.
Ответ: нет.

3) \(\frac{a}{b}\).
\(a\) — чётное, \(b\) — нечётное. Если \(b\) делит \(a\), дробь целая.
Ответ: да.

4) \(\frac{b}{a}\).
\(b\) — нечётное, \(a\) — чётное. Деление нечётного на чётное не даёт целое число.
Ответ: нет.

1) Рассмотрим выражение \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\). Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен произведению \(ab\). Тогда выражение можно переписать как \(\frac{a^{2}}{ab} + \frac{b^{2}}{ab} = \frac{a^{2} + b^{2}}{ab}\). Теперь нужно понять, какое число получится в числителе и знаменателе. Поскольку \(a\) — чётное число, то при возведении в квадрат оно остаётся чётным, то есть \(a^{2}\) — чётное число. Число \(b\) нечётное, и при возведении в квадрат оно остаётся нечётным, то есть \(b^{2}\) — нечётное число. Сложение чётного и нечётного числа даёт нечётное число, значит числитель \(\frac{a^{2} + b^{2}}{ab}\) — нечётный.

Знаменатель \(ab\) — произведение чётного и нечётного числа. Произведение чётного числа с любым другим числом всегда чётное, значит \(ab\) — чётное число. Теперь у нас есть дробь с нечётным числителем и чётным знаменателем. Деление нечётного числа на чётное никогда не даёт целое число, так как чётное число содержит множитель 2, которого нет в нечётном числе. Значит, выражение \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) не может быть целым числом.

2) Рассмотрим выражение \(\frac{a}{b} — \frac{b}{a}\). Аналогично первому случаю приводим к общему знаменателю: \(\frac{a}{b} — \frac{b}{a} = \frac{a^{2}}{ab} — \frac{b^{2}}{ab} = \frac{a^{2} — b^{2}}{ab}\). Числитель — разность квадратов. Поскольку \(a^{2}\) — чётное, а \(b^{2}\) — нечётное, разность чётного и нечётного числа даёт нечётное число. Знаменатель \(ab\) — чётное число, как и в первом случае. Следовательно, дробь \(\frac{a^{2} — b^{2}}{ab}\) — это деление нечётного числа на чётное, что не может дать целое число. Значит, выражение \(\frac{a}{b} — \frac{b}{a}\) также не является целым числом.

3) Рассмотрим выражение \(\frac{a}{b}\). Здесь \(a\) — чётное число, а \(b\) — нечётное. Чтобы дробь была целой, необходимо, чтобы \(b\) делил \(a\) без остатка. Поскольку \(a\) чётное, оно может быть кратно нечётному числу \(b\), например, если \(a = 6\), а \(b = 3\), тогда \(\frac{a}{b} = \frac{6}{3} = 2\) — целое число. Таким образом, при определённых значениях \(a\) и \(b\) дробь \(\frac{a}{b}\) может быть целым числом.

4) Рассмотрим выражение \(\frac{b}{a}\). Поскольку \(b\) — нечётное, а \(a\) — чётное, деление нечётного числа на чётное не может дать целое число, так как чётное число содержит множитель 2, которого нет в нечётном числе. Например, если \(b = 3\), а \(a = 4\), то \(\frac{b}{a} = \frac{3}{4}\) — дробь, не целое число. Значит, \(\frac{b}{a}\) никогда не будет целым числом.