ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 226 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Функция задана формулой \(f(x) = -2x^2 + 5x\).
1) Найдите: \(f(1)\); \(f(0)\); \(f\left(\frac{1}{2}\right)\); \(f(-5)\).
2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции равно: \(0\); \(2\); \(-3\).
3) Верно ли равенство: а) \(f(-1) = 7\); б) \(f(4) = -12\)?

Дана функция: \(f(x) = -2x^2 + 5x\).

1) Значения функции:
\(f(1) = -2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = -2 + 5 = 3\)
\(f(0) = -2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 = 0 + 0 = 0\)
\(f\left(\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5 \cdot \frac{1}{2} = -2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(f(-5) = -2 \cdot (-5)^2 + 5 \cdot (-5) = -2 \cdot 25 — 25 = -50 — 25 = -75\)

2) Значения аргумента:
При \(f(x) = 0\): \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2.5\). Ответ: \(0; 2.5\).
При \(f(x) = 2\): \(x_1 = 0.5\), \(x_2 = 2\). Ответ: \(0.5; 2\).
При \(f(x) = -3\): \(x_1 = -0.5\), \(x_2 = 3\). Ответ: \(-0.5; 3\).

3) Верно ли равенство:
а) \(f(-1) = 7\)? \(f(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) = -2 — 5 = -7\). Равенство неверно. Ответ: нет.
б) \(f(4) = -12\)? \(f(4) = -2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 = -32 + 20 = -12\). Равенство верно. Ответ: да.

Дана функция: \(f(x) = -2x^2 + 5x\).

1) Значения функции:
Для того чтобы найти значения функции, необходимо подставить заданные значения \(x\) в выражение для \(f(x)\) и выполнить арифметические операции.

Для \(x = 1\):
Подставляем \(x=1\) в функцию: \(f(1) = -2(1)^2 + 5(1)\).
Сначала вычисляем степень: \(1^2 = 1\).
Затем выполняем умножение: \(-2 \cdot 1 = -2\) и \(5 \cdot 1 = 5\).
Наконец, складываем результаты: \(-2 + 5 = 3\).
Таким образом, \(f(1) = 3\).

Для \(x = 0\):
Подставляем \(x=0\) в функцию: \(f(0) = -2(0)^2 + 5(0)\).
Сначала вычисляем степень: \(0^2 = 0\).
Затем выполняем умножение: \(-2 \cdot 0 = 0\) и \(5 \cdot 0 = 0\).
Наконец, складываем результаты: \(0 + 0 = 0\).
Таким образом, \(f(0) = 0\).

Для \(x = \frac{1}{2}\):
Подставляем \(x=\frac{1}{2}\) в функцию: \(f\left(\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right)\).
Сначала вычисляем степень: \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}\).
Затем выполняем умножение: \(-2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\) и \(5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
Наконец, складываем результаты: \(-\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Таким образом, \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\).

Для \(x = -5\):
Подставляем \(x=-5\) в функцию: \(f(-5) = -2(-5)^2 + 5(-5)\).
Сначала вычисляем степень: \((-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25\).
Затем выполняем умножение: \(-2 \cdot 25 = -50\) и \(5 \cdot (-5) = -25\).
Наконец, складываем результаты: \(-50 — 25 = -75\).
Таким образом, \(f(-5) = -75\).

2) Значения аргумента:
Для того чтобы найти значения аргумента \(x\), при которых функция принимает заданное значение, необходимо решить соответствующее уравнение.

Когда \(f(x) = 0\):
Уравнение: \(-2x^2 + 5x = 0\).
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель \(x\) за скобки:
\(x(-2x + 5) = 0\).
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, \(x = 0\) или \(-2x + 5 = 0\).
Из второго уравнения: \(-2x = -5\), откуда \(x = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} = 2.5\).
Таким образом, значения аргумента, при которых \(f(x) = 0\), это \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2.5\).
Ответ: \(0; 2.5\).

Когда \(f(x) = 2\):
Уравнение: \(-2x^2 + 5x = 2\).
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(2x^2 — 5x + 2 = 0\).
Здесь \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\).
Найдем дискриминант \(D = b^2 — 4ac\):
\(D = (-5)^2 — 4(2)(2) = 25 — 16 = 9\).
Так как \(D > 0\), у нас два различных действительных корня.
Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\(x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5\).
\(x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\).
Таким образом, значения аргумента, при которых \(f(x) = 2\), это \(x_1 = 0.5\) и \(x_2 = 2\).
Ответ: \(0.5; 2\).

Когда \(f(x) = -3\):
Уравнение: \(-2x^2 + 5x = -3\).
Перенесем все члены в одну сторону:
\(2x^2 — 5x — 3 = 0\).
Здесь \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = -3\).
Найдем дискриминант \(D = b^2 — 4ac\):
\(D = (-5)^2 — 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49\).
Так как \(D > 0\), у нас два различных действительных корня.
Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\(x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{5 — 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5\).
\(x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\).
Таким образом, значения аргумента, при которых \(f(x) = -3\), это \(x_1 = -0.5\) и \(x_2 = 3\).
Ответ: \(-0.5; 3\).

3) Верно ли равенство:
Для проверки равенства необходимо вычислить значение функции для заданного аргумента и сравнить его с предложенным значением.

а) \(f(-1) = 7\)?
Вычислим значение функции \(f(x)\) при \(x = -1\):
\(f(-1) = -2(-1)^2 + 5(-1)\).
Сначала вычисляем степень: \((-1)^2 = 1\).
Затем выполняем умножение: \(-2 \cdot 1 = -2\) и \(5 \cdot (-1) = -5\).
Наконец, складываем результаты: \(-2 — 5 = -7\).
Полученное значение \(f(-1) = -7\).
Сравниваем с \(7\): \(-7 \neq 7\).
Таким образом, равенство \(f(-1) = 7\) неверно.
Ответ: нет.

б) \(f(4) = -12\)?
Вычислим значение функции \(f(x)\) при \(x = 4\):
\(f(4) = -2(4)^2 + 5(4)\).
Сначала вычисляем степень: \(4^2 = 16\).
Затем выполняем умножение: \(-2 \cdot 16 = -32\) и \(5 \cdot 4 = 20\).
Наконец, складываем результаты: \(-32 + 20 = -12\).
Полученное значение \(f(4) = -12\).
Сравниваем с \(-12\): \(-12 = -12\).
Таким образом, равенство \(f(4) = -12\) верно.
Ответ: да.