ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) \(\frac{a^2}{a^4 + 1} \leq \frac{1}{2}\);

2) \(\frac{(5a + 1)^2}{5} \geq 4a\).

1) \( \frac{a^{2}}{a^{4} + 1} \leq \frac{1}{2} \);

\( 2a^{2} \leq a^{4} + 1 \);

\( a^{4} — 2a^{2} + 1 \geq 0 \);

\( (a^{2} — 1)^{2} \geq 0 \);

Неравенство доказано.

2) \( \frac{(5a + 1)^{2}}{5} \geq 4a \);

\( (5a + 1)^{2} \geq 20a \);

\( 25a^{2} + 10a + 1 \geq 20a \);

\( 25a^{2} — 10a + 1 \geq 0 \);

\( (5a — 1)^{2} \geq 0 \);

Неравенство доказано.

Рассмотрим первое неравенство \( \frac{a^{2}}{a^{4} + 1} \leq \frac{1}{2} \). Для начала умножим обе части на \( a^{4} + 1 \), которое всегда положительно, так как \( a^{4} \geq 0 \). Получим \( a^{2} \leq \frac{1}{2}(a^{4} + 1) \).

Раскроем скобки: \( a^{2} \leq \frac{a^{4}}{2} + \frac{1}{2} \). Перенесём все в левую часть: \( a^{2} — \frac{a^{4}}{2} — \frac{1}{2} \leq 0 \).

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей: \( 2a^{2} — a^{4} — 1 \leq 0 \). Перепишем: \( -a^{4} + 2a^{2} — 1 \leq 0 \).

Вынесем минус за скобки: \( -(a^{4} — 2a^{2} + 1) \leq 0 \). Заметим, что \( a^{4} — 2a^{2} + 1 = (a^{2} — 1)^{2} \).

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \( (a^{2} — 1)^{2} \geq 0 \), значит \( -(a^{2} — 1)^{2} \leq 0 \). Следовательно, исходное неравенство верно для всех \( a \).

Рассмотрим второе неравенство \( \frac{(5a + 1)^{2}}{5} \geq 4a \). Умножим обе части на 5: \( (5a + 1)^{2} \geq 20a \).

Раскроем квадрат: \( 25a^{2} + 10a + 1 \geq 20a \). Перенесём все в левую часть: \( 25a^{2} + 10a + 1 — 20a \geq 0 \).

Упростим: \( 25a^{2} — 10a + 1 \geq 0 \). Заметим, что это квадрат бинома: \( (5a — 1)^{2} \geq 0 \).

Поскольку квадрат любого выражения неотрицателен, неравенство верно для всех \( a \).