ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 232 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 17 изображён график функции \(y = g(x)\), определённой на промежутке \([-4; 4]\). Пользуясь графиком, найдите:

1) \(f(-4)\); \(f(-1)\); \(f(1)\); \(f(2,5)\);

2) значения \(x\), при которых: \(f(x) = -1\); \(f(x) = 0\); \(f(x) = 2\);

3) область значений функции.

Рис. 17

1) Значения функции: \(f(-4) = 0,5\), \(f(-1) = 2\); \(f(1) = 2\), \(f(2,5) = -0,5\).

2) Значения аргумента:
\(f(x) = -1\), \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\);
\(f(x) = 0\), \(x_1 = \pm 3\), \(x_2 = \pm 1,5\);
\(f(x) = 2\), \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\).

3) Область значений: \(E(y) = [-1; 3]\).

Для определения значений функции и аргумента по графику, а также области значений функции, необходимо внимательно проанализировать предоставленный график функции \(y = f(x)\) на заданном промежутке \([-4; 4]\).

1) Для того чтобы найти значения функции \(f(x)\) при заданных значениях аргумента \(x\), мы находим указанное значение \(x\) на горизонтальной оси (оси абсцисс), затем проводим вертикальную линию до пересечения с графиком функции, и от точки пересечения проводим горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью (осью ординат). Значение на оси ординат и будет искомым значением функции.
При \(x = -4\), точка на графике соответствует \(y = 0,5\), следовательно, \(f(-4) = 0,5\).
При \(x = -1\), точка на графике соответствует \(y = 2\), следовательно, \(f(-1) = 2\).
При \(x = 1\), точка на графике соответствует \(y = 2\), следовательно, \(f(1) = 2\).
При \(x = 2,5\), точка на графике соответствует \(y = -0,5\), следовательно, \(f(2,5) = -0,5\).

2) Для нахождения значений аргумента \(x\), при которых функция \(f(x)\) принимает заданное значение, мы находим указанное значение \(y\) на вертикальной оси, затем проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. От каждой точки пересечения проводим вертикальную линию до пересечения с горизонтальной осью. Значения на оси абсцисс и будут искомыми значениями аргумента.
Если \(f(x) = -1\), проводим горизонтальную линию на уровне \(y = -1\). Эта линия пересекает график в двух точках, которым соответствуют значения аргумента \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 2\).
Если \(f(x) = 0\), это означает, что мы ищем точки пересечения графика с осью абсцисс. График пересекает ось \(x\) в четырех точках, которым соответствуют значения аргумента \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1,5\), \(x_3 = 1,5\) и \(x_4 = 3\). Их можно записать как \(x = \pm 3\) и \(x = \pm 1,5\).
Если \(f(x) = 2\), проводим горизонтальную линию на уровне \(y = 2\). Эта линия пересекает график в двух точках, которым соответствуют значения аргумента \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).

3) Область значений функции, обозначаемая как \(E(y)\) или \(R(f)\), представляет собой множество всех значений \(y\), которые функция принимает на заданном промежутке определения. Чтобы определить область значений по графику, необходимо найти наименьшее и наибольшее значения функции на данном интервале. На графике видно, что самая низкая точка, которую достигает функция на интервале \([-4; 4]\), соответствует значению \(y = -1\). Самая высокая точка, которую достигает функция на этом же интервале, соответствует значению \(y = 3\). Таким образом, все значения функции находятся в диапазоне от \(-1\) до \(3\) включительно. Следовательно, область значений функции есть интервал \([-1; 3]\).