ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 233 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(f(x) = 7x — 15\);

2) \(f(x) = \frac{8}{x+5}\);

3) \(f(x) = \frac{x-10}{6}\);

4) \(f(x) = \sqrt{x-9}\);

5) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\);

6) \(f(x) = \frac{10}{x^2-4}\);

7) \(f(x) = \frac{6x+11}{x^2-2x}\);

8) \(f(x) = \sqrt{x+6} + \sqrt{4-x}\).

1) Для функции \(f(x) = 7x — 15\):
Область определения: \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)

2) Для функции \(f(x) = \frac{8}{x+5}\):
Условие: \(x+5 \neq 0\), то есть \(x \ne -5\)
Область определения: \(D(x) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)\)

3) Для функции \(f(x) = \frac{x-10}{6}\):
Область определения: \(D(x) = (-\infty; +\infty)\)

4) Для функции \(f(x) = \sqrt{x-9}\):
Условие: \(x-9 \ge 0\), то есть \(x \ge 9\)
Область определения: \(D(x) = [9; +\infty)\)

5) Для функции \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\):
Условие: \(1-x > 0\), то есть \(x < 1\)
Область определения: \(D(x) = (-\infty; 1)\)

6) Для функции \(f(x) = \frac{10}{x^2-4}\):
Условие: \(x^2-4 \neq 0\), то есть \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\)
Область определения: \(D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\)

7) Для функции \(f(x) = \frac{6x+11}{x^2-2x}\):
Условие: \(x^2-2x \neq 0\), то есть \(x(x-2) \neq 0\), значит \(x \ne 0\) и \(x \ne 2\)
Область определения: \(D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)\)

8) Для функции \(f(x) = \sqrt{x+6} + \sqrt{4-x}\):
Условия: \(x+6 \ge 0\) (то есть \(x \ge -6\)) и \(4-x \ge 0\) (то есть \(x \le 4\))
Область определения: \(D(x) = [-6; 4]\)

1) Для функции \(f(x) = 7x — 15\):
Эта функция является линейной, то есть многочленом первой степени. Многочлены определены для всех действительных чисел, поскольку нет никаких операций, которые бы накладывали ограничения на значение переменной \(x\), таких как деление на ноль или извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Следовательно, любое действительное число может быть подставлено вместо \(x\).
Область определения этой функции: \(D(x) = (-\infty; +\infty)\).

2) Для функции \(f(x) = \frac{8}{x+5}\):
Эта функция является дробно-рациональной, что означает, что она представлена в виде дроби, где в знаменателе содержится переменная. Главное правило для дробей в математике заключается в том, что знаменатель никогда не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Поэтому, чтобы найти область определения, мы должны исключить все значения \(x\), при которых знаменатель становится равным нулю.
Уравнение для знаменателя: \(x+5 = 0\).
Решая это уравнение, получаем: \(x = -5\).
Таким образом, значение \(x = -5\) должно быть исключено из области определения. Все остальные действительные числа допустимы.
Область определения этой функции: \(D(x) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)\).

3) Для функции \(f(x) = \frac{x-10}{6}\):
Эта функция также является линейной функцией, которая просто разделена на константу (число 6). Деление на ненулевую константу не накладывает никаких ограничений на значение переменной \(x\). Числитель \(x-10\) является многочленом и определен для всех действительных чисел.
Следовательно, нет никаких значений \(x\), которые могли бы привести к неопределенности функции.
Область определения этой функции: \(D(x) = (-\infty; +\infty)\).

4) Для функции \(f(x) = \sqrt{x-9}\):
Эта функция содержит квадратный корень. В системе действительных чисел квадратный корень может быть извлечен только из неотрицательного числа (то есть числа, которое больше или равно нулю). Поэтому выражение под знаком квадратного корня, \(x-9\), должно быть больше или равно нулю.
Неравенство для подкоренного выражения: \(x-9 \ge 0\).
Решая это неравенство, получаем: \(x \ge 9\).
Это означает, что \(x\) может принимать любые значения, начиная от 9 и до бесконечности, включая 9.
Область определения этой функции: \(D(x) = [9; +\infty)\).

5) Для функции \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\):
Эта функция содержит квадратный корень в знаменателе дроби. Это накладывает два условия:
1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(1-x \ge 0\).
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, что означает, что \(\sqrt{1-x} \neq 0\). Это в свою очередь означает, что \(1-x \neq 0\).
Объединяя эти два условия, мы получаем, что выражение под квадратным корнем должно быть строго положительным.
Неравенство для подкоренного выражения в знаменателе: \(1-x > 0\).
Решая это неравенство, получаем: \(1 > x\), или \(x < 1\).
Это означает, что \(x\) может принимать любые значения, которые строго меньше 1.
Область определения этой функции: \(D(x) = (-\infty; 1)\).

6) Для функции \(f(x) = \frac{10}{x^2-4}\):
Эта функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Уравнение для знаменателя: \(x^2-4 = 0\).
Это уравнение можно решить, перенеся константу и извлекая квадратный корень, или разложив на множители как разность квадратов: \((x-2)(x+2) = 0\).
Это дает два значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю: \(x-2 = 0 \implies x = 2\) и \(x+2 = 0 \implies x = -2\).
Таким образом, значения \(x = 2\) и \(x = -2\) должны быть исключены из области определения.
Область определения этой функции: \(D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).

7) Для функции \(f(x) = \frac{6x+11}{x^2-2x}\):
Эта функция также является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Уравнение для знаменателя: \(x^2-2x = 0\).
Чтобы решить это уравнение, можно вынести общий множитель \(x\) за скобки: \(x(x-2) = 0\).
Это дает два значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю: \(x = 0\) и \(x-2 = 0 \implies x = 2\).
Таким образом, значения \(x = 0\) и \(x = 2\) должны быть исключены из области определения.
Область определения этой функции: \(D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)\).

8) Для функции \(f(x) = \sqrt{x+6} + \sqrt{4-x}\):
Эта функция состоит из суммы двух квадратных корней. Для того чтобы функция была определена, каждое подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Мы должны найти значения \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.
Первое условие: \(x+6 \ge 0\).
Решая это неравенство, получаем: \(x \ge -6\).
Второе условие: \(4-x \ge 0\).
Решая это неравенство, получаем: \(4 \ge x\), или \(x \le 4\).
Теперь нам нужно найти пересечение этих двух множеств решений. Это означает, что \(x\) должен быть больше или равен -6 И одновременно меньше или равен 4.
Интервал, удовлетворяющий обоим условиям: \(-6 \le x \le 4\).
Область определения этой функции: \(D(x) = [-6; 4]\).