ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 234 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(f(x) = \frac{x+3}{x-4}\);

2) \(f(x) = \frac{9}{x^2+16}\);

3) \(f(x) = \frac{5x+1}{x^2-6x+8}\);

4) \(f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3}\);

5) \(f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}\);

6) \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\).

1) Для функции \(f(x) = \frac{x+3}{x-4}\) знаменатель не может быть равен нулю, то есть \(x-4 \neq 0\). Отсюда \(x \neq 4\). Область определения: \((-\infty; 4) \cup (4; +\infty)\).

2) Для функции \(f(x) = \frac{9}{x^2+16}\) знаменатель не может быть равен нулю. Выражение \(x^2+16\) всегда больше нуля для любых действительных \(x\), так как \(x^2 \ge 0\). Область определения: \((-\infty; +\infty)\).

3) Для функции \(f(x) = \frac{5x+1}{x^2-6x+8}\) знаменатель не может быть равен нулю, то есть \(x^2-6x+8 \neq 0\). Корни уравнения \(x^2-6x+8=0\) это \(x=2\) и \(x=4\). Значит, \(x \neq 2\) и \(x \neq 4\). Область определения: \((-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)\).

4) Для функции \(f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3}\) выражения под корнями должны быть неотрицательными: \(x-1 \ge 0\) и \(x-3 \ge 0\). Это означает \(x \ge 1\) и \(x \ge 3\). Оба условия выполняются при \(x \ge 3\). Область определения: \([3; +\infty)\).

5) Для функции \(f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}\) выражения под корнями должны быть неотрицательными: \(x-5 \ge 0\) и \(5-x \ge 0\). Это означает \(x \ge 5\) и \(x \le 5\). Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, это \(x=5\). Область определения: \(\{5\}\).

6) Для функции \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\) выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(x^2+1 \ge 0\). Так как \(x^2 \ge 0\), то \(x^2+1\) всегда больше или равно \(1\), а значит, всегда неотрицательно. Область определения: \((-\infty; +\infty)\).

1) Для функции \(f(x) = \frac{x+3}{x-4}\) необходимо, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю, так как деление на ноль не определено. Условие для знаменателя: \(x-4 \neq 0\). Прибавляя \(4\) к обеим частям неравенства, получаем \(x \neq 4\). Таким образом, область определения этой функции включает все действительные числа, кроме \(4\). В интервальной записи это выражается как \((-\infty; 4) \cup (4; +\infty)\).

2) Для функции \(f(x) = \frac{9}{x^2+16}\) также требуется, чтобы знаменатель не был равен нулю. Рассмотрим выражение \(x^2+16\). Известно, что квадрат любого действительного числа \(x^2\) всегда больше или равен нулю (\(x^2 \ge 0\)). Следовательно, \(x^2+16\) всегда будет больше или равно \(0+16\), то есть \(x^2+16 \ge 16\). Поскольку \(16\) не равно нулю, знаменатель \(x^2+16\) никогда не обращается в ноль для любых действительных значений \(x\). Таким образом, нет никаких ограничений на \(x\), и область определения функции — это все действительные числа. В интервальной записи это \((-\infty; +\infty)\).

3) Для функции \(f(x) = \frac{5x+1}{x^2-6x+8}\) знаменатель не должен быть равен нулю. Мы должны решить квадратное уравнение \(x^2-6x+8 = 0\), чтобы найти значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю. Это квадратное уравнение можно разложить на множители как \((x-2)(x-4) = 0\). Отсюда следует, что \(x-2=0\) или \(x-4=0\), что дает \(x=2\) или \(x=4\). Следовательно, \(x\) не может быть равен \(2\) и \(x\) не может быть равен \(4\). Область определения этой функции — это все действительные числа, кроме \(2\) и \(4\). В интервальной записи это \((-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)\).

4) Для функции \(f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3}\), включающей квадратные корни, выражения под корнями должны быть неотрицательными, то есть больше или равны нулю. Для первого корня \(\sqrt{x-1}\) имеем условие \(x-1 \ge 0\), что означает \(x \ge 1\). Для второго корня \(\sqrt{x-3}\) имеем условие \(x-3 \ge 0\), что означает \(x \ge 3\). Чтобы функция была определена, оба условия должны выполняться одновременно. Если \(x \ge 3\), то это автоматически удовлетворяет условию \(x \ge 1\). Таким образом, наиболее строгое условие, которое удовлетворяет обоим неравенствам, это \(x \ge 3\). Область определения функции — это все действительные числа, которые больше или равны \(3\). В интервальной записи это \([3; +\infty)\).

5) Для функции \(f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}\), также содержащей квадратные корни, выражения под корнями должны быть неотрицательными. Для первого корня \(\sqrt{x-5}\) условие \(x-5 \ge 0\), что приводит к \(x \ge 5\). Для второго корня \(\sqrt{5-x}\) условие \(5-x \ge 0\), что приводит к \(5 \ge x\), или \(x \le 5\). Чтобы функция была определена, оба условия \(x \ge 5\) и \(x \le 5\) должны выполняться одновременно. Единственное значение \(x\), которое удовлетворяет обоим этим условиям, это \(x=5\). Область определения этой функции состоит из одной точки. В записи множества это \(\{5\}\).

6) Для функции \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\) выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x^2+1 \ge 0\). Мы знаем, что квадрат любого действительного числа \(x^2\) всегда больше или равен нулю (\(x^2 \ge 0\)). Следовательно, \(x^2+1\) всегда будет больше или равно \(0+1\), то есть \(x^2+1 \ge 1\). Поскольку \(1\) является положительным числом, выражение \(x^2+1\) всегда положительно и, следовательно, всегда неотрицательно для любых действительных значений \(x\). Таким образом, нет никаких ограничений на \(x\), и область определения функции — это все действительные числа. В интервальной записи это \((-\infty; +\infty)\).