ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 236 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(f(x) = 4 — \frac{1}{3}x\);

2) \(f(x) = \frac{8}{x}\).

Для построения графика функции \(f(x) = 4 — \frac{1}{3}x\), которая является линейной функцией, достаточно найти две точки. Например, если \(x = 0\), то \(f(0) = 4 — \frac{1}{3} \cdot 0 = 4\). Получаем точку \((0, 4)\). Если \(x = 12\), то \(f(12) = 4 — \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 — 4 = 0\). Получаем точку \((12, 0)\). Проводим прямую через эти две точки.

Для построения графика функции \(f(x) = \frac{8}{x}\), которая является гиперболой, нужно помнить, что \(x\) не может быть равен нулю. Найдем несколько точек для положительных значений \(x\): если \(x = 1\), то \(f(1) = \frac{8}{1} = 8\); если \(x = 2\), то \(f(2) = \frac{8}{2} = 4\); если \(x = 4\), то \(f(4) = \frac{8}{4} = 2\); если \(x = 8\), то \(f(8) = \frac{8}{8} = 1\). Для отрицательных значений \(x\): если \(x = -1\), то \(f(-1) = \frac{8}{-1} = -8\); если \(x = -2\), то \(f(-2) = \frac{8}{-2} = -4\); если \(x = -4\), то \(f(-4) = \frac{8}{-4} = -2\); если \(x = -8\), то \(f(-8) = \frac{8}{-8} = -1\). Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, приближающейся к осям, но не пересекающей их.

1. Для построения графика функции \(f(x) = 4 — \frac{1}{3}x\) необходимо определить ее тип и ключевые точки. Данная функция является линейной, поскольку имеет вид \(y = mx + b\), где \(m = -\frac{1}{3}\) — угловой коэффициент, а \(b = 4\) — свободный член, указывающий на точку пересечения с осью ординат. Для построения прямой линии достаточно найти две точки.

2. Первая точка — это точка пересечения с осью \(y\). Для ее нахождения подставим \(x = 0\) в уравнение функции: \(f(0) = 4 — \frac{1}{3} \cdot 0 = 4 — 0 = 4\). Таким образом, первая точка имеет координаты \((0, 4)\).

3. Вторая точка — это точка пересечения с осью \(x\). Для ее нахождения приравняем функцию к нулю: \(0 = 4 — \frac{1}{3}x\). Перенесем член с \(x\) в левую часть уравнения: \(\frac{1}{3}x = 4\). Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на \(3\): \(x = 4 \cdot 3 = 12\). Таким образом, вторая точка имеет координаты \((12, 0)\).

4. После определения двух точек \((0, 4)\) и \((12, 0)\) их следует отметить на координатной плоскости. Затем через эти две точки проводится прямая линия, которая и будет являться графиком функции \(f(x) = 4 — \frac{1}{3}x\).

5. Для построения графика функции \(f(x) = \frac{8}{x}\) необходимо учесть, что это обратная пропорциональность, график которой представляет собой гиперболу. Важной особенностью данной функции является то, что \(x\) не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, ось \(y\) (\(x = 0\)) является вертикальной асимптотой, а ось \(x\) (\(y = 0\)) является горизонтальной асимптотой.

6. Для построения гиперболы необходимо найти несколько точек как для положительных, так и для отрицательных значений \(x\). Рассмотрим положительные значения \(x\):
— Если \(x = 1\), то \(f(1) = \frac{8}{1} = 8\). Точка: \((1, 8)\).
— Если \(x = 2\), то \(f(2) = \frac{8}{2} = 4\). Точка: \((2, 4)\).
— Если \(x = 4\), то \(f(4) = \frac{8}{4} = 2\). Точка: \((4, 2)\).
— Если \(x = 8\), то \(f(8) = \frac{8}{8} = 1\). Точка: \((8, 1)\).

7. Теперь рассмотрим отрицательные значения \(x\):
— Если \(x = -1\), то \(f(-1) = \frac{8}{-1} = -8\). Точка: \((-1, -8)\).
— Если \(x = -2\), то \(f(-2) = \frac{8}{-2} = -4\). Точка: \((-2, -4)\).
— Если \(x = -4\), то \(f(-4) = \frac{8}{-4} = -2\). Точка: \((-4, -2)\).
— Если \(x = -8\), то \(f(-8) = \frac{8}{-8} = -1\). Точка: \((-8, -1)\).

8. Все найденные точки следует отметить на координатной плоскости. Затем точки соединяются плавной линией, формируя две ветви гиперболы. Одна ветвь будет располагаться в первой координатной четверти (для положительных \(x\) и \(y\)), а другая — в третьей координатной четверти (для отрицательных \(x\) и \(y\)). Обе ветви будут асимптотически приближаться к осям координат, но никогда их не пересекут.