ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 237 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) \(f(x) = \frac{1}{6}x — 7\);

2) \(f(x) = \frac{20+4x}{3x-5}\);

3) \(g(x) = 9 — x^2\);

4) \(\varphi(x) = x^2 + 2x — 3\).

1) \(f(x) = \frac{1}{6}x — 7\)
С осью абсцисс: \(\frac{1}{6}x — 7 = 0 \Rightarrow \frac{1}{6}x = 7 \Rightarrow x = 42\). Точка: \((42, 0)\).
С осью ординат: \(f(0) = \frac{1}{6} \cdot 0 — 7 = -7\). Точка: \((0, -7)\).
Ответ: \((0, -7)\); \((42, 0)\).

2) \(f(x) = \frac{20+4x}{3x-5}\)
С осью абсцисс: \(\frac{20+4x}{3x-5} = 0 \Rightarrow 20+4x = 0 \Rightarrow 4x = -20 \Rightarrow x = -5\). Знаменатель \(3(-5)-5 = -20 \neq 0\). Точка: \((-5, 0)\).
С осью ординат: \(f(0) = \frac{20+4 \cdot 0}{3 \cdot 0 — 5} = \frac{20}{-5} = -4\). Точка: \((0, -4)\).
Ответ: \((0, -4)\); \((-5, 0)\).

3) \(g(x) = 9 — x^2\)
С осью абсцисс: \(9 — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\). Точки: \((-3, 0)\) и \((3, 0)\).
С осью ординат: \(g(0) = 9 — 0^2 = 9\). Точка: \((0, 9)\).
Ответ: \((0, 9)\); \((-3, 0)\); \((3, 0)\).

4) \(\varphi(x) = x^2 + 2x — 3\)
С осью абсцисс: \(x^2 + 2x — 3 = 0\). Дискриминант \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).
\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}\).
\(x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3\).
\(x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\).
Точки: \((-3, 0)\) и \((1, 0)\).
С осью ординат: \(\varphi(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 3 = -3\). Точка: \((0, -3)\).
Ответ: \((0, -3)\); \((-3, 0)\); \((1, 0)\).

1) \(f(x) = \frac{1}{6}x — 7\)

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат необходимо выполнить следующие шаги.

Пересечение с осью абсцисс (осью \(X\)):
Уравнение для нахождения точек пересечения с осью абсцисс имеет вид \(f(x) = 0\). Подставим выражение для \(f(x)\): \(\frac{1}{6}x — 7 = 0\).
Прибавим 7 к обеим частям уравнения, чтобы изолировать член с \(x\): \(\frac{1}{6}x = 7\).
Умножим обе части уравнения на 6, чтобы найти значение \(x\): \(x = 7 \cdot 6\).
Вычислим произведение: \(x = 42\).
Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты \((42, 0)\).

Пересечение с осью ординат (осью \(Y\)):
Для нахождения точки пересечения с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\) в функцию \(f(x)\).
Подставим \(x = 0\): \(f(0) = \frac{1}{6} \cdot 0 — 7\).
Вычислим произведение: \(f(0) = 0 — 7\).
Вычислим разность: \(f(0) = -7\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0, -7)\).

Ответ: \((0, -7)\); \((42, 0)\).

2) \(f(x) = \frac{20+4x}{3x-5}\)

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат необходимо выполнить следующие шаги.

Пересечение с осью абсцисс (осью \(X\)):
Уравнение для нахождения точек пересечения с осью абсцисс имеет вид \(f(x) = 0\). Подставим выражение для \(f(x)\): \(\frac{20+4x}{3x-5} = 0\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю: \(20+4x = 0\).
Вычтем 20 из обеих частей уравнения: \(4x = -20\).
Разделим обе части на 4: \(x = \frac{-20}{4}\).
Вычислим частное: \(x = -5\).
Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при \(x = -5\). Подставим \(x = -5\) в знаменатель: \(3x — 5 = 3(-5) — 5 = -15 — 5 = -20\). Поскольку \(-20 \neq 0\), значение \(x = -5\) допустимо.
Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты \((-5, 0)\).

Пересечение с осью ординат (осью \(Y\)):
Для нахождения точки пересечения с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\) в функцию \(f(x)\).
Подставим \(x = 0\): \(f(0) = \frac{20+4 \cdot 0}{3 \cdot 0 — 5}\).
Вычислим произведения в числителе и знаменателе: \(f(0) = \frac{20+0}{0-5}\).
Вычислим суммы и разности: \(f(0) = \frac{20}{-5}\).
Вычислим частное: \(f(0) = -4\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0, -4)\).

Ответ: \((0, -4)\); \((-5, 0)\).

3) \(g(x) = 9 — x^2\)

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат необходимо выполнить следующие шаги.

Пересечение с осью абсцисс (осью \(X\)):
Уравнение для нахождения точек пересечения с осью абсцисс имеет вид \(g(x) = 0\). Подставим выражение для \(g(x)\): \(9 — x^2 = 0\).
Прибавим \(x^2\) к обеим частям уравнения: \(9 = x^2\).
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. \(x = \pm\sqrt{9}\).
Вычислим квадратный корень: \(x = \pm 3\).
Таким образом, существуют две точки пересечения с осью абсцисс: \((-3, 0)\) и \((3, 0)\).

Пересечение с осью ординат (осью \(Y\)):
Для нахождения точки пересечения с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\) в функцию \(g(x)\).
Подставим \(x = 0\): \(g(0) = 9 — 0^2\).
Вычислим квадрат: \(g(0) = 9 — 0\).
Вычислим разность: \(g(0) = 9\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0, 9)\).

Ответ: \((0, 9)\); \((-3, 0)\); \((3, 0)\).

4) \(\varphi(x) = x^2 + 2x — 3\)

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат необходимо выполнить следующие шаги.

Пересечение с осью абсцисс (осью \(X\)):
Уравнение для нахождения точек пересечения с осью абсцисс имеет вид \(\varphi(x) = 0\). Подставим выражение для \(\varphi(x)\): \(x^2 + 2x — 3 = 0\).
Это квадратное уравнение общего вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где в данном случае \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\).
Вычислим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\): \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3)\).
Вычислим квадраты и произведения: \(D = 4 — (-12)\).
Вычислим сумму: \(D = 4 + 12 = 16\).
Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Подставим значения \(a\), \(b\), \(D\): \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\).
Вычислим квадратный корень: \(x = \frac{-2 \pm 4}{2}\).
Найдем первый корень \(x_1\): \(x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).
Найдем второй корень \(x_2\): \(x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\).
Таким образом, существуют две точки пересечения с осью абсцисс: \((-3, 0)\) и \((1, 0)\).

Пересечение с осью ординат (осью \(Y\)):
Для нахождения точки пересечения с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\) в функцию \(\varphi(x)\).
Подставим \(x = 0\): \(\varphi(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 3\).
Вычислим квадраты и произведения: \(\varphi(0) = 0 + 0 — 3\).
Вычислим сумму и разность: \(\varphi(0) = -3\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0, -3)\).

Ответ: \((0, -3)\); \((-3, 0)\); \((1, 0)\).