ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 238 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) \(h(x) = 9 — 10x\);

2) \(p(x) = 4x^2 + x — 3\);

3) \(s(x) = \frac{x^2-2}{x^2+2}\).

Для функции \(h(x) = 9 — 10x\):
Пересечение с осью абсцисс: \(9 — 10x = 0 \Rightarrow 10x = 9 \Rightarrow x = 0.9\). Точка: \((0.9; 0)\).
Пересечение с осью ординат: \(h(0) = 9 — 10 \cdot 0 = 9\). Точка: \((0; 9)\).

Для функции \(p(x) = 4x^2 + x — 3\):
Пересечение с осью абсцисс: \(4x^2 + x — 3 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\).
Корни: \(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 — 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1\).
\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = 0.75\).
Точки: \((-1; 0)\) и \((0.75; 0)\).
Пересечение с осью ординат: \(p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 — 3 = -3\). Точка: \((0; -3)\).

Для функции \(s(x) = \frac{x^2 — 2}{x^2 + 2}\):
Пересечение с осью абсцисс: \(\frac{x^2 — 2}{x^2 + 2} = 0 \Rightarrow x^2 — 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\).
Точки: \((-\sqrt{2}; 0)\) и \((\sqrt{2}; 0)\).
Пересечение с осью ординат: \(s(0) = \frac{0^2 — 2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1\). Точка: \((0; -1)\).

1. Для функции \(h(x) = 9 — 10x\).
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью \(X\)), мы приравниваем значение функции к нулю, то есть \(h(x) = 0\).
\(9 — 10x = 0\)
Переносим член с \(x\) в правую часть уравнения:
\(9 = 10x\)
Делим обе части уравнения на \(10\), чтобы найти значение \(x\):
\(x = \frac{9}{10}\)
\(x = 0.9\)
Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты \((0.9; 0)\).

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью \(Y\)), мы подставляем \(x = 0\) в функцию \(h(x)\).
\(h(0) = 9 — 10 \cdot 0\)
Вычисляем значение:
\(h(0) = 9 — 0\)
\(h(0) = 9\)
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0; 9)\).

2. Для функции \(p(x) = 4x^2 + x — 3\).
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью \(X\)), мы приравниваем значение функции к нулю, то есть \(p(x) = 0\).
\(4x^2 + x — 3 = 0\)
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = 1\), \(c = -3\).
Вычисляем дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\):
\(D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3)\)
\(D = 1 — (-48)\)
\(D = 1 + 48\)
\(D = 49\)
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Находим корни \(x_1\) и \(x_2\) по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 4}\)
\(x_1 = \frac{-1 — 7}{8}\)
\(x_1 = \frac{-8}{8}\)
\(x_1 = -1\)
\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4}\)
\(x_2 = \frac{-1 + 7}{8}\)
\(x_2 = \frac{6}{8}\)
\(x_2 = \frac{3}{4}\)
\(x_2 = 0.75\)
Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты \((-1; 0)\) и \((0.75; 0)\).

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью \(Y\)), мы подставляем \(x = 0\) в функцию \(p(x)\).
\(p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 — 3\)
Вычисляем значение:
\(p(0) = 4 \cdot 0 + 0 — 3\)
\(p(0) = 0 + 0 — 3\)
\(p(0) = -3\)
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0; -3)\).

3. Для функции \(s(x) = \frac{x^2 — 2}{x^2 + 2}\).
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью \(X\)), мы приравниваем значение функции к нулю, то есть \(s(x) = 0\).
\(\frac{x^2 — 2}{x^2 + 2} = 0\)
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравниваем числитель к нулю:
\(x^2 — 2 = 0\)
Переносим константу в правую часть:
\(x^2 = 2\)
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
\(x = \pm\sqrt{2}\)
Проверяем знаменатель: \(x^2 + 2\). Поскольку \(x^2\) всегда больше или равно \(0\), то \(x^2 + 2\) всегда больше \(0\) и никогда не равен \(0\). Следовательно, знаменатель не обращается в ноль для найденных значений \(x\).
Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты \((-\sqrt{2}; 0)\) и \((\sqrt{2}; 0)\).

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью \(Y\)), мы подставляем \(x = 0\) в функцию \(s(x)\).
\(s(0) = \frac{0^2 — 2}{0^2 + 2}\)
Вычисляем значение:
\(s(0) = \frac{0 — 2}{0 + 2}\)
\(s(0) = \frac{-2}{2}\)
\(s(0) = -1\)
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0; -1)\).