ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a < b\), то \(a < \frac{a+b}{2} < b\).

Дано \(a < b\).

Докажем \(a < \frac{a+b}{2} < b\).

Сначала докажем \(a < \frac{a+b}{2}\).

Умножим на 2: \(2a < a + b\).

Вычтем \(a\): \(a < b\) — это верно.

Теперь докажем \(\frac{a+b}{2} < b\).

Умножим на 2: \(a + b < 2b\).

Вычтем \(b\): \(a < b\) — это верно.

Значит, \(a < \frac{a+b}{2} < b\).

Неравенство доказано.

Пусть \(a < b\).

Докажем, что \(a < \frac{a+b}{2} < b\).

Сначала рассмотрим неравенство \(a < \frac{a+b}{2}\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 2. Получим \(2a < a + b\).

Вычтем \(a\) из обеих частей: \(a < b\). Это верно по условию.

Теперь докажем вторую часть неравенства: \(\frac{a+b}{2} < b\). Аналогично умножим обе части на 2: \(a + b < 2b\).

Вычтем \(b\) из обеих частей: \(a < b\). Это тоже верно по условию.

Таким образом, мы получили, что \(a < \frac{a+b}{2}\) и \(\frac{a+b}{2} < b\).

Следовательно, \(a < \frac{a+b}{2} < b\).

Неравенство доказано.