ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 240 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = \begin{cases} 6, & \text{если } x \le -3, \\ x^2, & \text{если } -3 < x < 1, \\ x, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}\)

График функции состоит из трех частей:
При \(x \le -3\) график представляет собой горизонтальный луч \(y=6\), начинающийся в точке \((-3, 6)\) (включительно) и уходящий влево.
При \(-3 < x < 1\) график является частью параболы \(y=x^2\). Эта часть начинается от точки \((-3, 9)\) (не включительно) и заканчивается в точке \((1, 1)\) (не включительно). Вершина параболы находится в точке \((0, 0)\).
При \(x \ge 1\) график представляет собой луч \(y=x\), начинающийся в точке \((1, 1)\) (включительно) и уходящий вправо.

Для построения графика кусочно-заданной функции \(f(x)\), заданной выражением:
\(f(x) = \begin{cases} 6, & \text{если } x \le -3 \\ x^2, & \text{если } -3 < x < 1 \\ x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}\)
необходимо последовательно рассмотреть поведение функции на каждом из трех заданных интервалов, уделяя особое внимание граничным точкам и тому, как части графика соединяются или не соединяются в этих точках. Понимание каждого отдельного элемента и их взаимодействия является ключом к точному построению.

На первом интервале, когда \(x \le -3\), функция определена как константа: \(f(x) = 6\). Это означает, что для любого значения \(x\), которое меньше или равно \(-3\), соответствующее значение \(y\) всегда будет равно \(6\). Графически константная функция изображается прямой линией, параллельной оси абсцисс. В данном случае это будет горизонтальная прямая \(y=6\). Поскольку условие включает равенство \(x = -3\), точка с координатами \((-3, 6)\) является частью графика и должна быть отмечена как «закрашенная» или «включенная» точка. От этой точки график простирается влево, образуя луч, уходящий в бесконечность в направлении отрицательных значений \(x\). Например, если \(x = -4\), \(f(-4) = 6\); если \(x = -5\), \(f(-5) = 6\), и так далее. Этот луч не имеет конца в левой части, но имеет четко определенную начальную точку \((-3, 6)\) справа.

Второй интервал определяет функцию как \(f(x) = x^2\) для значений \(x\) в диапазоне от \(-3\) до \(1\), не включая сами граничные точки (то есть, \(-3 < x < 1\)). Функция \(y=x^2\) является базовой квадратичной функцией, график которой представляет собой параболу, симметричную относительно оси \(y\) и имеющую вершину в начале координат \((0, 0)\). Для данного интервала мы рассматриваем только часть этой параболы. Важно отметить, что граничные точки \(-3\) и \(1\) не включены в этот интервал, что означает, что соответствующие точки на графике будут «выколотыми» или «открытыми». Для \(x = -3\), значение \(x^2\) равно \((-3)^2 = 9\), поэтому точка \((-3, 9)\) будет «выколотой» точкой, указывающей на то, что график приближается к этой точке, но не достигает её. Аналогично, для \(x = 1\), значение \(x^2\) равно \((1)^2 = 1\), и точка \((1, 1)\) также будет «выколотой». Между этими двумя «выколотыми» точками, график плавно изгибается, проходя через такие точки, как \((-2, 4)\), \((-1, 1)\), \((0, 0)\) (вершина параболы), и \((0.5, 0.25)\). Эта часть параболы является непрерывной кривой между своими «выколотыми» концами.

Наконец, третий интервал определяет функцию как \(f(x) = x\) для значений \(x \ge 1\). Это линейная функция, график которой представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и имеющую наклон в \(45^\circ\) относительно положительного направления оси \(x\). Поскольку условие включает равенство \(x = 1\), точка с координатами \((1, 1)\) является частью графика и должна быть отмечена как «закрашенная» или «включенная» точка. От этой точки график простирается вправо и вверх, образуя луч, уходящий в бесконечность в направлении положительных значений \(x\) и \(y\). Например, если \(x = 2\), \(f(2) = 2\); если \(x = 3\), \(f(3) = 3\), и так далее. Этот луч не имеет конца в правой части, но имеет четко определенную начальную точку \((1, 1)\) слева.

Теперь рассмотрим, как эти три части соединяются. В точке \(x = -3\), происходит разрыв функции. Слева от \(-3\), функция равна \(6\), и график включает точку \((-3, 6)\). Справа от \(-3\), функция определяется как \(x^2\), и график приближается к точке \((-3, 9)\), но не включает ее. Таким образом, в точке \(x = -3\) происходит «скачок» значения функции от \(6\) до \(9\), что указывает на разрыв. В точке \(x = 1\), график является непрерывным. Второй интервал, парабола \(y=x^2\), приближается к точке \((1, 1)\) (как «выколотая» точка). Третий интервал, прямая \(y=x\), начинается точно в точке \((1, 1)\) (как «закрашенная» точка). Это означает, что луч \(y=x\) «заполняет» «выколотую» точку параболы, обеспечивая непрерывность графика в этой точке. Таким образом, общий график функции состоит из горизонтального луча, затем части параболы, которая переходит в другой луч, при этом в одной точке соединения есть разрыв, а в другой точке соединения график остается непрерывным.