ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 241 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ -x, & \text{если } -2 \le x \le 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}\)

Функция задана так:
\(f(x) = \begin{cases}
-\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2 \\
-x, & \text{если } -2 \leq x \leq 0 \\
\sqrt{x}, & \text{если } x > 0
\end{cases}\)

Для \(x < -2\) строим график функции \(y = -\frac{4}{x}\). Это гипербола, у которой при \(x \to -\infty\), \(y \to 0^{-}\), а при \(x \to -2^{-}\), \(y \to 2\).

Для \(-2 \leq x \leq 0\) строим график функции \(y = -x\). Это прямая с угловым коэффициентом \(-1\), проходящая через точки \((-2, 2)\) и \((0, 0)\).

Для \(x > 0\) строим график функции \(y = \sqrt{x}\). Это корень квадратный, начинающийся в точке \((0, 0)\) и растущий вправо.

График состоит из трёх частей, соединённых в точках \(x = -2\) и \(x = 0\), как на рисунке.

1. Функция задана по частям:
\(f(x) = \begin{cases}
-\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2 \\
-x, & \text{если } -2 \leq x \leq 0 \\
\sqrt{x}, & \text{если } x > 0
\end{cases}\)

2. Рассмотрим первую часть функции при \(x < -2\):
\(f(x) = -\frac{4}{x}\).
Это гипербола с вертикальной асимптотой \(x=0\) и горизонтальной асимптотой \(y=0\). При \(x \to -\infty\), \(f(x) \to 0^{-}\). При приближении к \(x = -2\) слева, вычислим значение функции:
\(f(-2^{-}) = -\frac{4}{-2} = 2\).

3. Для второй части функции при \(-2 \leq x \leq 0\) имеем:
\(f(x) = -x\).
Это линейная функция с наклоном \(-1\). Проверим значения в крайних точках:
\(f(-2) = -(-2) = 2\),
\(f(0) = -0 = 0\).
График — прямая линия, соединяющая точки \((-2, 2)\) и \((0, 0)\).

4. Третья часть функции при \(x > 0\):
\(f(x) = \sqrt{x}\).
Это корень квадратный, определённый для положительных \(x\). В точке \(x=0\) значение функции \(f(0) = 0\) (граница с предыдущей частью). Функция растёт медленно и положительна для всех \(x > 0\).

5. Соединение графиков:
В точке \(x = -2\) значения первой и второй части совпадают:
\(-\frac{4}{-2} = 2\) и \(-(-2) = 2\).
В точке \(x = 0\) значения второй и третьей части совпадают:
\(-0 = 0\) и \(\sqrt{0} = 0\).

6. Таким образом, график функции состоит из трёх частей:
— гипербола \(y = -\frac{4}{x}\) для \(x < -2\),
— прямая \(y = -x\) для \(-2 \leq x \leq 0\),
— корень \(y = \sqrt{x}\) для \(x > 0\).

7. На промежутке \(x < -2\) график приближается к оси \(x\) слева и уходит вверх к точке \((-2, 2)\).

8. На промежутке \(-2 \leq x \leq 0\) график — прямая линия, идущая из точки \((-2, 2)\) вниз до точки \((0, 0)\).

9. На промежутке \(x > 0\) график — кривая, начинающаяся в точке \((0, 0)\) и медленно возрастающая вправо.

10. Итог: график функции изображён на рисунке и соответствует описанным частям и точкам соединения.