ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 242 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{x+2}{x-5}\);

2) \(f(x) = \frac{x}{|x|-7}\);

3) \(f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x^2-9}\);

4) \(f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}} + \frac{4x-3}{x^2-7x+6}\).

1) \( x — 2 \geq 0, x \geq 2; \quad x — 5 \neq 0, x \neq 5; \)
Ответ: \( D(x) = [2; 5) \cup (5; +\infty) \).

2) \( |x| — 7 \neq 0, |x| \neq 7, x \neq \pm 7; \)
Ответ: \( (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty) \).

3) \( x + 3 \geq 0, x \geq -3; \quad x^2 — 9 \neq 0, x \neq \pm 3; \)
Ответ: \( D(x) = (-3; 3) \cup (3; +\infty) \).

4) \( x — 4 \geq 0, x \geq 4; \quad x + 2 > 0, x > -2; \quad x^2 — 7x + 6 \neq 0; \)
\( D = 49 — 24 = 25; \quad x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6; \)
Ответ: \( D(x) = [4; 6) \cup (6; +\infty) \).

1) Функция \( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{x+2}{x-5} \) содержит корень и дробь. Для корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит \( x — 2 \geq 0 \), откуда \( x \geq 2 \). Для дроби знаменатель не должен равняться нулю, значит \( x — 5 \neq 0 \), то есть \( x \neq 5 \). Объединяя условия, получаем область определения \( D(x) = [2; 5) \cup (5; +\infty) \).

2) Функция \( f(x) = \frac{x}{|x| — 7} \) содержит дробь с модулем в знаменателе. Знаменатель не должен равняться нулю, значит \( |x| — 7 \neq 0 \), откуда \( |x| \neq 7 \), то есть \( x \neq 7 \) и \( x \neq -7 \). Других ограничений нет, поэтому область определения равна \( (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty) \).

3) Функция \( f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x^2 — 9} \) содержит корень и дробь. Для корня \( x + 3 \geq 0 \), значит \( x \geq -3 \). Для дроби знаменатель не должен равняться нулю, значит \( x^2 — 9 \neq 0 \), то есть \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \). Объединяя условия, получаем область определения \( D(x) = [-3; 3) \cup (3; +\infty) \).

4) Функция \( f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}} + \frac{4x-3}{x^2 — 7x + 6} \) содержит две дроби с корнями. В первой дроби числитель — корень, значит \( x — 4 \geq 0 \), то есть \( x \geq 4 \). Знаменатель — корень, значит подкоренное выражение строго положительно: \( x + 2 > 0 \), то есть \( x > -2 \). Во второй дроби знаменатель не должен равняться нулю, решаем уравнение \( x^2 — 7x + 6 = 0 \). Дискриминант равен \( 49 — 24 = 25 \). Корни: \( x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6 \). Значит \( x \neq 1 \) и \( x \neq 6 \). Учитывая, что \( x \geq 4 \) и \( x > -2 \), область определения равна \( D(x) = [4; 6) \cup (6; +\infty) \).