ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 244 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \(f(x) = \sqrt{x-1}\);

2) \(f(x) = 5-x^2\);

3) \(f(x) = -7\);

4) \(f(x) = |x|+2\);

5) \(f(x) = \sqrt{-x^2}\);

6) \(f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}\).

1) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \);
\( x — 1 \geq 0 \), значит \( x \geq 1 \);
\( f(x) \geq 0 \), минимальное значение \(0\), максимум \(+\infty\);
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty) \).

2) \( f(x) = 5 — x^{2} \);
\( -x^{2} \leq 0 \), значит \( 5 — x^{2} \leq 5 \);
Максимум \(5\) при \(x=0\), минимум \(-\infty\);
Ответ: \( E(y) = (-\infty; 5] \).

3) \( f(x) = -7 \);
Постоянная функция, принимает значение \(-7\);
Ответ: \( E(y) = \{-7\} \).

4) \( f(x) = |x| + 2 \);
\( |x| \geq 0 \), значит \( |x| + 2 \geq 2 \);
Минимум \(2\), максимум \(+\infty\);
Ответ: \( E(y) = [2; +\infty) \).

5) \( f(x) = \sqrt{-x^{2}} \);
\( -x^{2} \geq 0 \) только при \( x=0 \);
\( f(0) = 0 \);
Ответ: \( E(y) = \{0\} \).

6) \( f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x} \);
\( x — 2 \geq 0 \) и \( 2 — x \geq 0 \) одновременно только при \( x=2 \);
\( f(2) = 0 + 0 = 0 \);
Ответ: \( E(y) = \{0\} \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x — 1} \). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит \( x — 1 \geq 0 \). Отсюда получаем \( x \geq 1 \). Значит функция определена при \( x \geq 1 \). Значения функции — это все числа от нуля и больше, так как корень всегда неотрицателен. Минимальное значение функции при \( x = 1 \) равно \( \sqrt{1 — 1} = 0 \). Максимум функции не ограничен, так как при увеличении \( x \) корень растёт без предела. Значит область значений \( E(y) = [0; +\infty) \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = 5 — x^{2} \). Область определения — все числа \( x \in \mathbb{R} \), так как нет ограничений на \( x \). Функция — парабола с вершиной в точке \( x = 0 \). При \( x = 0 \) значение функции \( f(0) = 5 — 0 = 5 \). Это максимальное значение функции, так как \( x^{2} \geq 0 \) и \( 5 — x^{2} \leq 5 \). При больших по модулю \( x \) функция стремится к минус бесконечности. Значит область значений \( E(y) = (-\infty; 5] \).

3) Функция \( f(x) = -7 \) — постоянная. Она принимает одно значение \(-7\) для всех \( x \). Значит область значений — множество из одного элемента: \( E(y) = \{-7\} \).

4) Рассмотрим функцию \( f(x) = |x| + 2 \). Модуль \( |x| \) всегда неотрицателен, то есть \( |x| \geq 0 \). Значит минимальное значение функции будет при \( |x| = 0 \), то есть при \( x = 0 \). Тогда \( f(0) = 0 + 2 = 2 \). Максимум функции не ограничен, так как при увеличении \( |x| \) функция растёт. Значит область значений \( E(y) = [2; +\infty) \).

5) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{-x^{2}} \). Подкоренное выражение \( -x^{2} \) должно быть неотрицательным, то есть \( -x^{2} \geq 0 \). Это возможно только при \( x^{2} = 0 \), то есть при \( x = 0 \). Тогда \( f(0) = \sqrt{0} = 0 \). Значит функция принимает только одно значение, и область значений \( E(y) = \{0\} \).

6) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x — 2} + \sqrt{2 — x} \). Для существования корней необходимо, чтобы \( x — 2 \geq 0 \) и \( 2 — x \geq 0 \) одновременно. Из первого неравенства \( x \geq 2 \), из второго \( x \leq 2 \). Значит \( x = 2 \). При \( x=2 \) функция равна \( \sqrt{2 — 2} + \sqrt{2 — 2} = 0 + 0 = 0 \). Значит область значений \( E(y) = \{0\} \).