ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 245 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \(f(x) = x^2+3\);

2) \(f(x) = 6-\sqrt{x}\);

3) \(f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\).

1) \( f(x) = x^{2} + 3 \)
\( x^{2} \geq 0 \), значит \( x^{2} + 3 \geq 3 \)
Ответ: \( E(y) = [3; +\infty) \)

2) \( f(x) = 6 — \sqrt{x} \)
\( \sqrt{x} \geq 0 \), значит \( 6 — \sqrt{x} \leq 6 \)
Ответ: \( E(y) = (-\infty; 6] \)

3) \( f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x \)
\( x \geq 0 \)
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty) \)

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^{2} + 3 \). Квадрат любого числа \( x^{2} \) всегда неотрицателен, то есть \( x^{2} \geq 0 \) для всех \( x \). Значит, минимальное значение функции будет тогда, когда \( x^{2} = 0 \), тогда \( f(x) = 0 + 3 = 3 \). При увеличении \( |x| \) значение \( x^{2} \) растёт, значит функция принимает все значения от 3 до бесконечности. Следовательно, область значений функции: \( E(y) = [3; +\infty) \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = 6 — \sqrt{x} \). Подкоренное выражение \( \sqrt{x} \) определено только при \( x \geq 0 \). Значение \( \sqrt{x} \) минимально при \( x = 0 \), тогда \( \sqrt{0} = 0 \), и \( f(0) = 6 — 0 = 6 \). При увеличении \( x \), \( \sqrt{x} \) растёт без ограничения, следовательно \( 6 — \sqrt{x} \) убывает и стремится к минус бесконечности. Значит, функция принимает все значения от минус бесконечности до 6 включительно. Область значений: \( E(y) = (-\infty; 6] \).

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \). Умножение двух одинаковых корней даёт исходное число, то есть \( \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x \). При этом область определения \( \sqrt{x} \) — все \( x \geq 0 \). Значит, функция принимает значения от 0 до бесконечности. Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).