ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a < b < c\), то \(a < \frac{a+b+c}{3} < c\).

\(a < b < c\)

Докажем, что \(a < \frac{a+b+c}{3} < c\).

Умножим неравенство \(a < \frac{a+b+c}{3}\) на 3:
\(3a < a + b + c\)
Вычтем \(a\) из обеих частей:
\(2a < b + c\)
Так как \(a < b\) и \(a < c\), то \(2a < b + c\) верно.

Теперь докажем, что \(\frac{a+b+c}{3} < c\). Умножим на 3:
\(a + b + c < 3c\)
Вычтем \(c\):
\(a + b < 2c\)
Так как \(a < c\) и \(b < c\), то \(a + b < 2c\) верно.

Значит, \(a < \frac{a+b+c}{3} < c\). Неравенство доказано.

Пусть \(a < b < c\). Нужно доказать, что \(a < \frac{a+b+c}{3} < c\).

Сначала докажем, что \(a < \frac{a+b+c}{3}\). Для этого умножим обе части неравенства на 3, так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится. Получим \(3a < a + b + c\).

Теперь вычтем \(a\) из обеих частей: \(3a — a < b + c\), то есть \(2a < b + c\).

Так как \(a < b\) и \(a < c\), то \(b + c\) больше чем \(2a\), значит неравенство \(2a < b + c\) верно. Следовательно, первая часть доказана: \(a < \frac{a+b+c}{3}\).

Теперь докажем вторую часть: \(\frac{a+b+c}{3} < c\). Аналогично умножим обе части на 3: \(a + b + c < 3c\).

Вычтем \(c\) из обеих частей: \(a + b < 2c\).

Поскольку \(a < c\) и \(b < c\), сумма \(a + b\) меньше \(2c\), значит \(a + b < 2c\) верно. Отсюда следует, что \(\frac{a+b+c}{3} < c\).

Таким образом, мы доказали, что \(a < \frac{a+b+c}{3} < c\).