ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Выполняется ли неравенство \(\frac{a^2 + 4}{2} \geq \sqrt{a^2 + 3}\) при всех значениях \(a\)?

Верно ли неравенство:
\( \frac{a^2 + 4}{2} \geq \sqrt{a^2 + 3} \)

Домножим обе части на 2:
\( a^2 + 4 \geq 2 \sqrt{a^2 + 3} \)

Возведём обе части в квадрат:
\( (a^2 + 4)^2 \geq (2 \sqrt{a^2 + 3})^2 \)
\( (a^2 + 4)^2 \geq 4 (a^2 + 3) \)

Раскроем скобки:
\( a^4 + 8 a^2 + 16 \geq 4 a^2 + 12 \)

Перенесём всё влево:
\( a^4 + 8 a^2 + 16 — 4 a^2 — 12 \geq 0 \)
\( a^4 + 4 a^2 + 4 \geq 0 \)

Это то же самое, что:
\( (a^2 + 2)^2 \geq 0 \)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно.

Ответ: да.

Проверим неравенство \( \frac{a^2 + 4}{2} \geq \sqrt{a^2 + 3} \).

Домножим обе части на 2, так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
\( a^2 + 4 \geq 2 \sqrt{a^2 + 3} \).

Теперь возведём обе части в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны:
\( (a^2 + 4)^2 \geq (2 \sqrt{a^2 + 3})^2 \).

Раскроем скобки справа и слева:
\( (a^2 + 4)^2 = a^{4} + 8 a^{2} + 16 \),
\( (2 \sqrt{a^2 + 3})^2 = 4 (a^2 + 3) = 4 a^{2} + 12 \).

Подставим в неравенство:
\( a^{4} + 8 a^{2} + 16 \geq 4 a^{2} + 12 \).

Перенесём все члены влево:
\( a^{4} + 8 a^{2} + 16 — 4 a^{2} — 12 \geq 0 \),
что упрощается до
\( a^{4} + 4 a^{2} + 4 \geq 0 \).

Заметим, что левая часть — полный квадрат:
\( (a^{2} + 2)^2 \geq 0 \).

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство выполняется для всех \( a \in \mathbb{R} \).

Ответ: да.