ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Выполняется ли неравенство \(\frac{a^2 + 4}{2} \geq \sqrt{a^2 + 3}\) при всех значениях \(a\)?

Верно ли неравенство:
\( \frac{a^2 + 4}{2} \geq \sqrt{a^2 + 3} \)

Домножим обе части на 2:
\( a^2 + 4 \geq 2 \sqrt{a^2 + 3} \)

Возведём обе части в квадрат:
\( (a^2 + 4)^2 \geq (2 \sqrt{a^2 + 3})^2 \)
\( (a^2 + 4)^2 \geq 4 (a^2 + 3) \)

Раскроем скобки:
\( a^4 + 8 a^2 + 16 \geq 4 a^2 + 12 \)

Перенесём всё влево:
\( a^4 + 8 a^2 + 16 — 4 a^2 — 12 \geq 0 \)
\( a^4 + 4 a^2 + 4 \geq 0 \)

Это то же самое, что:
\( (a^2 + 2)^2 \geq 0 \)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно.

Ответ: да.

Рассмотрим неравенство \( \frac{a^2 + 4}{2} \geq \sqrt{a^2 + 3} \) и подробно разберём каждый шаг решения, чтобы понять, почему оно верно для всех значений \( a \) из множества действительных чисел.

Сначала умножим обе части неравенства на 2. Это действие возможно без изменения знака неравенства, так как число 2 положительно. Получаем:
\( a^2 + 4 \geq 2 \sqrt{a^2 + 3} \).
Этот переход важен, потому что избавляет нас от дроби и упрощает дальнейшие преобразования. При этом мы сохраняем исходное условие, так как умножение на положительное число не меняет направление неравенства.

Далее возведём обе части неравенства в квадрат. Здесь нужно убедиться, что обе стороны неотрицательны, чтобы не нарушить логику решения. Левая часть \( a^2 + 4 \) всегда положительна, так как \( a^2 \geq 0 \) и прибавляем 4, а правая часть — произведение положительного числа 2 на корень, который тоже неотрицателен. Значит, возведение в квадрат не изменит знак неравенства:
\( (a^2 + 4)^2 \geq (2 \sqrt{a^2 + 3})^2 \).

Раскроем скобки с обеих сторон. Левая часть раскрывается по формуле квадрата суммы:
\( (a^2 + 4)^2 = a^{4} + 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = a^{4} + 8 a^{2} + 16 \).
Правая часть, возведённая в квадрат, избавляется от корня и множителя:
\( (2 \sqrt{a^2 + 3})^2 = 4 (a^2 + 3) = 4 a^{2} + 12 \).

Теперь подставим полученные выражения в исходное неравенство:
\( a^{4} + 8 a^{2} + 16 \geq 4 a^{2} + 12 \).

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить неравенство в стандартном виде:
\( a^{4} + 8 a^{2} + 16 — 4 a^{2} — 12 \geq 0 \),
что упрощается до
\( a^{4} + 4 a^{2} + 4 \geq 0 \).

Обратим внимание, что левая часть является полным квадратом, так как
\( a^{4} + 4 a^{2} + 4 = (a^{2})^{2} + 2 \cdot a^{2} \cdot 2 + 2^{2} = (a^{2} + 2)^2 \).

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть
\( (a^{2} + 2)^2 \geq 0 \) для всех \( a \in \mathbb{R} \).

Таким образом, исходное неравенство верно при любых значениях \( a \) из множества действительных чисел, поскольку мы получили выражение, которое всегда неотрицательно. Это доказывает, что неравенство выполняется для всех \( a \), и ответ — да.