ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 266 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке \([-4; 3]\), такой, что:

1) функция возрастает на промежутке \([-4; -1]\) и убывает на промежутке \([-1; 3]\);

2) функция убывает на промежутках \([-4; -2]\) и \([0; 3]\) и возрастает на промежутке \([-2; 0]\).

1) Функция возрастает на промежутке \((-4; -1)\) и убывает на промежутке \((-1; 3)\). Пример: \(f(x) = -(x+1)^2 + 1\).

2) Функция убывает на промежутках \((-4; -2)\) и \((0; 3)\), возрастает на промежутке \((-2; 0)\). Пример: \(g(x) = -(x+2)^3 + 3(x+2)^2\).

1) Нам нужно найти функцию, которая возрастает на промежутке \((-4; -1)\) и убывает на промежутке \((-1; 3)\). Для этого рассмотрим параболу с вершиной в точке \(-1\), так как в этой точке функция меняет направление с возрастания на убывание.

Функция параболы с вершиной в точке \(-1\) записывается как \(f(x) = a(x+1)^2 + b\). Чтобы функция возрастала слева от вершины и убывала справа, коэффициент \(a\) должен быть отрицательным, то есть \(a < 0\).

Выберем \(a = -1\) для простоты и \(b = 1\) для сдвига по вертикали. Тогда функция будет иметь вид \(f(x) = -(x+1)^2 + 1\).

Проверим поведение функции: при \(x = -4\), \(f(-4) = -(-3)^2 + 1 = -9 + 1 = -8\); при \(x = -1\), \(f(-1) = 0 + 1 = 1\); при \(x = 3\), \(f(3) = -(4)^2 + 1 = -16 + 1 = -15\).

Таким образом, функция возрастает от \(-8\) до \(1\) на промежутке \((-4; -1)\) и убывает от \(1\) до \(-15\) на промежутке \((-1; 3)\).

2) Нужно найти функцию, которая убывает на промежутках \((-4; -2)\) и \((0; 3)\), и возрастает на промежутке \((-2; 0)\). Для этого рассмотрим кубическую функцию с двумя критическими точками: минимумом в \(-2\) и максимумом в \(0\).

Общая форма кубической функции с такими свойствами: \(g(x) = a(x+2)^3 + b(x+2)^2 + c\).

Чтобы функция убывала слева от \(-2\), возрастала между \(-2\) и \(0\), а затем убывала после \(0\), нужно подобрать коэффициенты так, чтобы производная \(g'(x)\) меняла знак с минуса на плюс в точке \(-2\) и с плюса на минус в точке \(0\).

Выберем \(a = -1\), \(b = 3\), \(c = 0\) для простоты. Тогда функция будет \(g(x) = -(x+2)^3 + 3(x+2)^2\).

Проверим поведение функции: при \(x = -4\), \(g(-4) = -(-2)^3 + 3(-2)^2 = -(-8) + 3 \cdot 4 = 8 + 12 = 20\); при \(x = -2\), \(g(-2) = 0 + 0 = 0\); при \(x = 0\), \(g(0) = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 12 = 4\); при \(x = 3\), \(g(3) = -(5)^3 + 3(5)^2 = -125 + 75 = -50\).

Функция убывает от \(20\) до \(0\) на \((-4; -2)\), возрастает от \(0\) до \(4\) на \((-2; 0)\), и убывает от \(4\) до \(-50\) на \((0; 3)\).

Таким образом, функция \(g(x) = -(x+2)^3 + 3(x+2)^2\) удовлетворяет заданным условиям.