ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 268 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = \begin{cases} 2x + 8, \text{ если } x \le -2, \\ x^2, \text{ если } -2 < x < 2, \\ -2x + 8, \text{ если } x \ge 2. \end{cases}\)

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Функция задана так: \(f(x) = \begin{cases} 2x + 8, \text{ если } x \le -2, \\ x^2, \text{ если } -2 < x < 2, \\ -2x + 8, \text{ если } x \ge 2. \end{cases}\)

Нули функции: \(x = -4\), \(x = 0\), \(x = 4\).

Функция положительна при \(x \in (-4; 0) \cup (0; 4)\).

Функция отрицательна при \(x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)\).

Функция возрастает на \((-\infty; -2] \cup [0; 2]\).

Функция убывает на \([-2; 0] \cup [2; +\infty)\).

1. Найдём нули функции. Для \(x \le -2\) решаем уравнение \(2x + 8 = 0\). Переносим 8 в правую часть: \(2x = -8\). Делим обе части на 2: \(x = -4\). Для \(-2 < x < 2\) решаем \(x^2 = 0\). Корень уравнения: \(x = 0\). Для \(x \ge 2\) решаем \(-2x + 8 = 0\). Переносим \(-2x\) в правую часть: \(8 = 2x\). Делим обе части на 2: \(x = 4\).

2. Определим промежутки, на которых функция положительна. Для \(x \le -2\) функция равна \(2x + 8\). При \(x > -4\) значение \(2x + 8 > 0\), значит функция положительна на интервале \((-4; -2]\). Для \(-2 < x < 2\) функция равна \(x^2\), которая положительна при всех \(x \neq 0\), значит функция положительна на \((-2; 0)\) и \((0; 2)\). Для \(x \ge 2\) функция равна \(-2x + 8\). При \(x < 4\) значение функции положительно, значит функция положительна на \([2; 4)\).

3. Определим промежутки, на которых функция отрицательна. Для \(x \le -2\) при \(x < -4\) значение \(2x + 8 < 0\), значит функция отрицательна на \((-\infty; -4)\). Для \(-2 < x < 2\) функция \(x^2\) неотрицательна, поэтому отрицательных значений нет. Для \(x \ge 2\) при \(x > 4\) значение \(-2x + 8 < 0\), значит функция отрицательна на \((4; +\infty)\).

4. Найдём промежутки возрастания и убывания. Для \(x \le -2\) функция \(2x + 8\) — линейная с положительным коэффициентом при \(x\), значит она возрастает на \((-\infty; -2]\). Для \(-2 < x < 2\) функция \(x^2\) убывает на \((-2; 0)\) и возрастает на \((0; 2)\). Для \(x \ge 2\) функция \(-2x + 8\) — линейная с отрицательным коэффициентом, значит она убывает на \([2; +\infty)\).

5. Итог: нули функции \(x = -4\), \(x = 0\), \(x = 4\). Функция положительна на \((-4; 0) \cup (0; 4)\). Функция отрицательна на \((-\infty; -4) \cup (4; +\infty)\). Функция возрастает на \((-\infty; -2] \cup [0; 2]\). Функция убывает на \([-2; 0] \cup [2; +\infty)\).