ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 27 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство \(\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \geq 2\).

Доказать неравенство:

\(\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2\).

Умножим обе части на \(\sqrt{a^{2} + 1}\):

\(a^{2} + 2 \geq 2\sqrt{a^{2} + 1}\).

Возведём обе части в квадрат:

\((a^{2} + 2)^{2} \geq (2\sqrt{a^{2} + 1})^{2}\).

Раскроем скобки:

\(a^{4} + 4a^{2} + 4 \geq 4a^{2} + 4\).

Вычтем \(4a^{2} + 4\) из обеих частей:

\(a^{4} \geq 0\).

Это верно для всех \(a\), значит неравенство доказано.

Дано неравенство \(\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2\).

Сначала умножим обе части неравенства на \(\sqrt{a^{2} + 1}\), которое всегда положительно, так как подкоренное выражение \(a^{2} + 1 > 0\). Получим:

\(a^{2} + 2 \geq 2 \sqrt{a^{2} + 1}\).

Далее возведём обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится:

\((a^{2} + 2)^{2} \geq (2 \sqrt{a^{2} + 1})^{2}\).

Раскроем скобки слева:

\((a^{2} + 2)^{2} = a^{4} + 4 a^{2} + 4\).

Справа упростим:

\((2 \sqrt{a^{2} + 1})^{2} = 4 (a^{2} + 1) = 4 a^{2} + 4\).

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

\(a^{4} + 4 a^{2} + 4 \geq 4 a^{2} + 4\).

Вычтем \(4 a^{2} + 4\) из обеих частей:

\(a^{4} \geq 0\).

Так как \(a^{4}\) — четвёртая степень числа \(a\), она всегда неотрицательна для любого действительного \(a\). Значит, исходное неравенство верно для всех \(a \in \mathbb{R}\).