ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 274 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Функция \(y = f(x)\) является убывающей. Возрастающей или убывающей является функция (ответ обоснуйте):
1) \(y = 3f(x)\);
2) \(y = \frac{1}{3}f(x)\);
3) \(y = -f(x)\)?

Функция \( f \) убывает:
1) \( y = 3f(x) \)
Если \( x_2 > x_1 \), тогда
\( f(x_2) < f(x_1) \) \( 3f(x_2) < 3f(x_1) \) Ответ: убывает. 2) \( y = \frac{1}{3} f(x) \) Если \( x_2 > x_1 \), тогда
\( f(x_2) < f(x_1) \) \( \frac{1}{3} f(x_2) < \frac{1}{3} f(x_1) \) Ответ: убывает. 3) \( y = -f(x) \) Если \( x_2 > x_1 \), тогда
\( f(x_2) < f(x_1) \) \( -f(x_2) > -f(x_1) \)
Ответ: возрастает.

1) Пусть функция \( f \) убывает. Это значит, что для любых двух чисел \( x_1 \) и \( x_2 \), таких что \( x_2 > x_1 \), значения функции удовлетворяют неравенству \( f(x_2) < f(x_1) \). Теперь рассмотрим функцию \( y = 3f(x) \). Здесь мы умножаем значение функции \( f(x) \) на число 3, которое больше нуля. При умножении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Значит, если \( f(x_2) < f(x_1) \), то и \( 3f(x_2) < 3f(x_1) \). Это показывает, что новая функция \( y = 3f(x) \) также убывает, так как для больших \( x \) значения функции становятся меньше. Далее, важно понять, почему знак неравенства сохраняется при умножении на положительное число. Если бы мы умножали на отрицательное число, знак поменялся бы на противоположный, но 3 — это положительное число, поэтому порядок сохраняется. Таким образом, умножение функции на положительный коэффициент не меняет её монотонность. Итак, функция \( y = 3f(x) \) убывает, потому что умножение на положительное число не изменяет порядок значений функции, и исходная функция уже убывает. 2) Рассмотрим теперь функцию \( y = \frac{1}{3} f(x) \). Здесь мы умножаем функцию \( f(x) \) на дробь \( \frac{1}{3} \), которая также положительна. Аналогично предыдущему случаю, если \( f(x_2) < f(x_1) \) при \( x_2 > x_1 \), то умножение обеих частей неравенства на положительное число \( \frac{1}{3} \) сохранит знак неравенства: \( \frac{1}{3} f(x_2) < \frac{1}{3} f(x_1) \). Это значит, что функция \( y = \frac{1}{3} f(x) \) убывает так же, как и исходная функция \( f(x) \). Важно отметить, что масштабирование функции на положительный коэффициент изменяет только «высоту» графика, но не влияет на направление изменения функции при возрастании аргумента \( x \). Таким образом, монотонность функции сохраняется. Следовательно, умножение функции на дробь, которая больше нуля, не меняет её убывающего характера. 3) Теперь рассмотрим функцию \( y = -f(x) \). Здесь мы умножаем функцию \( f(x) \) на число \(-1\), которое отрицательно. При умножении неравенства \( f(x_2) < f(x_1) \) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Значит, из исходного \( f(x_2) < f(x_1) \) при \( x_2 > x_1 \) получаем \( -f(x_2) > -f(x_1) \).

Это означает, что при возрастании \( x \) значения функции \( y = -f(x) \) возрастают, то есть функция становится возрастающей. Таким образом, умножение убывающей функции на отрицательное число меняет её монотонность с убывающей на возрастающую.

В итоге, функция \( y = -f(x) \) является возрастающей, так как знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется на противоположный.