ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 276 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что функция:
1) \(y = \frac{6}{3 — x}\) возрастает на промежутке \((3; +\infty)\);
2) \(y = x^2 — 4x + 3\) убывает на промежутке \((-\infty; 2]\).

1) \( y = \frac{6}{3 — x} \);

Возрастает на \((3; +\infty)\):

Пусть \(x_2 > x_1 > 3\);

Тогда \(-x_2 < -x_1 < -3\); Следовательно, \(3 - x_2 < 3 - x_1 < 0\); Тогда \(\frac{6}{3 - x_2} > \frac{6}{3 — x_1}\);

Что и требовалось доказать.

2) \( y = x^2 — 4x + 3 \);

Убывает на \((-\infty; 2]\):

Пусть \(x_1 < x_2 \leq 2\); Тогда \(x_1 - 2 < x_2 - 2 \leq 0\); Из этого \((x_1 - 2)^2 > (x_2 — 2)^2\);

Следовательно, \((x_1 — 2)^2 — 1 > (x_2 — 2)^2 — 1\);

Раскроем скобки:

\(x_1^2 — 4x_1 + 3 > x_2^2 — 4x_2 + 3\);

Что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим функцию \( y = \frac{6}{3 — x} \).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — любые числа из интервала \( (3; +\infty) \), причём \( x_2 > x_1 \).

Тогда \( 3 — x_1 < 0 \) и \( 3 - x_2 < 0 \), так как оба числа больше 3. Найдём разность значений функции в этих точках: \( y(x_2) - y(x_1) = \frac{6}{3 - x_2} - \frac{6}{3 - x_1} \). Приведём к общему знаменателю: \( = \frac{6(3 - x_1) - 6(3 - x_2)}{(3 - x_2)(3 - x_1)} = \frac{6(3 - x_1 - 3 + x_2)}{(3 - x_2)(3 - x_1)} = \frac{6(x_2 - x_1)}{(3 - x_2)(3 - x_1)} \). Числитель положителен, так как \( x_2 - x_1 > 0 \).

Знаменатель — произведение двух отрицательных чисел, значит он положителен.

Итого, разность положительна: \( y(x_2) — y(x_1) > 0 \).

Следовательно, функция возрастает на интервале \( (3; +\infty) \).

2) Рассмотрим функцию \( y = x^{2} — 4x + 3 \).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — любые числа из интервала \( (-\infty; 2] \), причём \( x_1 < x_2 \). Вычислим разность значений функции: \( y(x_1) - y(x_2) = (x_1^{2} - 4x_1 + 3) - (x_2^{2} - 4x_2 + 3) = x_1^{2} - 4x_1 - x_2^{2} + 4x_2 \). Перегруппируем: \( = (x_1^{2} - x_2^{2}) - 4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4) \). Так как \( x_1 < x_2 \), то \( x_1 - x_2 < 0 \). Проверим знак второго множителя: Поскольку \( x_1, x_2 \leq 2 \), то \( x_1 + x_2 \leq 4 \). Следовательно, \( x_1 + x_2 - 4 \leq 0 \). Произведение двух отрицательных чисел положительно: \( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4) > 0 \).

Значит \( y(x_1) — y(x_2) > 0 \), то есть \( y(x_1) > y(x_2) \) при \( x_1 < x_2 \). Это означает, что функция убывает на интервале \( (-\infty; 2] \).