ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 277 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что функция:
1) \(y = \frac{7}{x + 5}\) убывает на промежутке \((-5; +\infty)\);
2) \(y = 6x — x^2\) возрастает на промежутке \((-\infty; 3]\).

1) \( y = \frac{7}{x+5} \);
Пусть \( x_2 > x_1 > -5 \). Тогда \( x_2 + 5 > x_1 + 5 > 0 \), значит
\( \frac{7}{x_2 + 5} < \frac{7}{x_1 + 5} \). Что и требовалось доказать. 2) \( y = 6x - x^2 \); Пусть \( x_1 < x_2 \leq 3 \). Тогда \( x_1 - 3 < x_2 - 3 \leq 0 \), значит \( (x_1 - 3)^2 > (x_2 — 3)^2 \), откуда
\( 9 — (x_1 — 3)^2 < 9 - (x_2 - 3)^2 \), то есть \( y(x_1) < y(x_2) \). Что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим функцию \( y = \frac{7}{x+5} \). Чтобы доказать, что она убывает на интервале \( (-5; +\infty) \), возьмём любые два числа \( x_1 \) и \( x_2 \) из этого интервала такие, что \( x_2 > x_1 \). Поскольку \( x_1 > -5 \), то \( x_1 + 5 > 0 \), и так же \( x_2 + 5 > 0 \). Из неравенства \( x_2 > x_1 \) следует, что \( x_2 + 5 > x_1 + 5 \). Теперь сравним значения функции в этих точках: \( y(x_1) = \frac{7}{x_1 + 5} \) и \( y(x_2) = \frac{7}{x_2 + 5} \). Так как знаменатель у \( y(x_2) \) больше, чем у \( y(x_1) \), а числитель одинаковый и положительный, то \( y(x_2) < y(x_1) \). Значит функция убывает на интервале \( (-5; +\infty) \). 2) Рассмотрим функцию \( y = 6x - x^{2} \). Нужно доказать, что она возрастает на интервале \( (-\infty; 3] \). Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — любые числа из этого интервала, причём \( x_1 < x_2 \leq 3 \). Перепишем функцию в виде \( y = 9 - (x - 3)^{2} \). Тогда \( y(x_1) = 9 - (x_1 - 3)^{2} \), \( y(x_2) = 9 - (x_2 - 3)^{2} \). Поскольку \( x_1 < x_2 \leq 3 \), то \( x_1 - 3 < x_2 - 3 \leq 0 \). Значит по модулю \( |x_1 - 3| > |x_2 — 3| \), а значит \( (x_1 — 3)^{2} > (x_2 — 3)^{2} \). Тогда \( y(x_1) = 9 — (x_1 — 3)^{2} < 9 - (x_2 - 3)^{2} = y(x_2) \). Значит функция возрастает на интервале \( (-\infty; 3] \).