ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 278 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что функция \(y = \frac{k}{x}\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\) при \(k > 0\) и возрастает на каждом из этих промежутков при \(k < 0\).

Функция \(y = \frac{k}{x}\), \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

1) При \(k > 0\) функция убывает:

Пусть \(x_2 > x_1\), тогда

\(y(x_2) — y(x_1) = \frac{k}{x_2} — \frac{k}{x_1} = k \left(\frac{1}{x_2} — \frac{1}{x_1}\right) = k \frac{x_1 — x_2}{x_1 x_2} < 0\), потому что \(k > 0\), \(x_1 — x_2 < 0\) и \(x_1 x_2 > 0\).

2) При \(k < 0\) функция возрастает: Пусть \(x_2 > x_1\), тогда

\(y(x_2) — y(x_1) = k \frac{x_1 — x_2}{x_1 x_2} > 0\),

потому что \(k < 0\), \(x_1 - x_2 < 0\) и \(x_1 x_2 > 0\).

Что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим функцию \(y = \frac{k}{x}\), где \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\). Нам нужно доказать, как ведёт себя эта функция на каждом из этих интервалов при разных знаках числа \(k\).

2) Пусть \(k > 0\). Возьмём две точки \(x_1\) и \(x_2\) из одного интервала, например, \(0 < x_1 < x_2\). Найдём разность значений функции в этих точках: \(y(x_2) - y(x_1) = \frac{k}{x_2} - \frac{k}{x_1} = k \left(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}\right)\). 3) Преобразуем выражение внутри скобок: \(\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}\). 4) Подставим обратно: \(y(x_2) - y(x_1) = k \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}\). 5) Поскольку \(k > 0\), \(x_1 < x_2\), то \(x_1 - x_2 < 0\). На интервале \((0; +\infty)\) произведение \(x_1 x_2 > 0\). Значит дробь \(\frac{x_1 — x_2}{x_1 x_2}\) отрицательна.

6) Следовательно, произведение \(k \frac{x_1 — x_2}{x_1 x_2}\) меньше нуля, то есть

\(y(x_2) — y(x_1) < 0\). 7) Это значит, что функция убывает на интервале \((0; +\infty)\) при \(k > 0\). Аналогично на интервале \((-\infty; 0)\) при \(x_1 < x_2 < 0\) произведение \(x_1 x_2 > 0\), а \(x_1 — x_2 < 0\), поэтому тоже \(y(x_2) - y(x_1) < 0\), то есть функция убывает и там. 8) Теперь рассмотрим случай \(k < 0\). Пусть \(x_1 < x_2\) на одном из интервалов. Тогда \(y(x_2) - y(x_1) = k \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}\). 9) Здесь \(k < 0\), \(x_1 - x_2 < 0\), произведение \(x_1 x_2 > 0\), значит дробь \(\frac{x_1 — x_2}{x_1 x_2}\) отрицательна, а произведение двух отрицательных чисел \(k\) и \(\frac{x_1 — x_2}{x_1 x_2}\) положительно.

10) Следовательно,

\(y(x_2) — y(x_1) > 0\),

то есть функция возрастает на обоих интервалах при \(k < 0\). Что и требовалось доказать.