ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 28 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(a^2 + b^2 + 6a — 4b + 13 \geq 0\);

2) \(x^2 — 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\);

3) \(2m^2 — 6mn + 9n^2 — 6m + 9 \geq 0\);

4) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4(a + b + c)\);

5) \(a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab\).

1) \(a^2 + b^2 + 6a — 4b + 13 \geq 0\);
\(a^2 + 6a + 9 + b^2 — 4b + 4 \geq 0\);
\((a + 3)^2 + (b — 2)^2 \geq 0\);
Неравенство доказано.

2) \(x^2 — 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\);
\(x^2 — 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 + 2 > 0\);
\((x — 1)^2 + (y + 5)^2 + 2 > 0\);
Неравенство доказано.

3) \(2m^2 — 6mn + 9n^2 — 6m + 9 \geq 0\);
\(m^2 — 6mn + 9n^2 + m^2 — 6m + 9 \geq 0\);
\((m — 3n)^2 + (m — 3)^2 \geq 0\);
Неравенство доказано.

4) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4(a + b + c)\);
\(a^2 — 4a + 4 + b^2 — 4b + 4 + c^2 — 4c + 4 \geq 0\);
\((a — 2)^2 + (b — 2)^2 + (c — 2)^2 \geq 0\);
Неравенство доказано.

5) \(a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab\);
\(a^2 b^2 — 2ab + 1 + a^2 — 2ab + b^2 \geq 0\);
\((ab — 1)^2 + (a — b)^2 \geq 0\);
Неравенство доказано.

Рассмотрим первое неравенство: \(a^2 + b^2 + 6a — 4b + 13 \geq 0\).

Сгруппируем члены с \(a\) и с \(b\): \(a^2 + 6a + b^2 — 4b + 13\).

Выделим полный квадрат по \(a\): к \(a^2 + 6a\) добавим и вычтем \(9\), так как \((a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9\).

Аналогично для \(b^2 — 4b\) добавим и вычтем \(4\), потому что \((b — 2)^2 = b^2 — 4b + 4\).

Получаем: \((a + 3)^2 — 9 + (b — 2)^2 — 4 + 13\).

Сложим константы: \(-9 — 4 + 13 = 0\).

Остаётся \((a + 3)^2 + (b — 2)^2 \geq 0\), что верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

—

Рассмотрим второе неравенство: \(x^2 — 2x + y^2 + 10y + 28 > 0\).

Выделим полный квадрат по \(x\): \(x^2 — 2x + 1\), так как \((x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1\).

По \(y\): \(y^2 + 10y + 25\), так как \((y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25\).

Добавим и вычтем эти числа в исходном выражении:
\(x^2 — 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 + (28 — 1 — 25)\).

Упростим константы: \(28 — 1 — 25 = 2\).

Итог: \((x — 1)^2 + (y + 5)^2 + 2 > 0\).

Так как сумма квадратов неотрицательна, а 2 положительно, неравенство строго больше нуля.

—

Рассмотрим третье неравенство: \(2m^2 — 6mn + 9n^2 — 6m + 9 \geq 0\).

Разобьём на две части: \(m^2 — 6mn + 9n^2\) и \(m^2 — 6m + 9\), так как \(2m^2 = m^2 + m^2\).

Первое выражение равно \((m — 3n)^2\), потому что \((m — 3n)^2 = m^2 — 6mn + 9n^2\).

Второе выражение равно \((m — 3)^2\), так как \((m — 3)^2 = m^2 — 6m + 9\).

Таким образом, исходное выражение равно \((m — 3n)^2 + (m — 3)^2 \geq 0\).

Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство истинно.

—

Рассмотрим четвёртое неравенство: \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4(a + b + c)\).

Перенесём все в одну сторону:
\(a^2 — 4a + b^2 — 4b + c^2 — 4c + 12 \geq 0\).

Выделим полный квадрат по \(a\): \(a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2\).

По \(b\): \(b^2 — 4b + 4 = (b — 2)^2\).

По \(c\): \(c^2 — 4c + 4 = (c — 2)^2\).

Поскольку \(12 = 4 + 4 + 4\), выражение становится
\((a — 2)^2 + (b — 2)^2 + (c — 2)^2 \geq 0\).

Это верно, так как сумма квадратов неотрицательна.

—

Рассмотрим пятое неравенство: \(a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab\).

Перенесём всё в одну сторону:
\(a^2 b^2 — 4ab + a^2 + b^2 + 1 \geq 0\).

Группируем:
\((a^2 b^2 — 2ab + 1) + (a^2 — 2ab + b^2)\).

Первое выражение — это \((ab — 1)^2\), так как \((ab — 1)^2 = a^2 b^2 — 2ab + 1\).

Второе выражение — это \((a — b)^2\), так как \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).

Итого: \((ab — 1)^2 + (a — b)^2 \geq 0\).

Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.