ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 281 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сократите дробь:
1) \(\frac{x^2 + x — 6}{7x + 21}\);
2) \(\frac{2y — 16}{8 + 7y — y^2}\);
3) \(\frac{m^2 — 16m + 63}{m^2 — 81}\);
4) \(\frac{3a^2 + a — 2}{4 — 9a^2}\).

1) \( \frac{x^{2} + x — 6}{7x + 21} = \frac{(x + 3)(x — 2)}{7(x + 3)} = \frac{x — 2}{7}, \quad x \neq -3 \)

2) \( \frac{2y — 16}{8 + 7y — y^{2}} = \frac{2(y — 8)}{-(y — 8)(y + 1)} = — \frac{2}{y + 1}, \quad y \neq 8, y \neq -1 \)

3) \( \frac{m^{2} — 16m + 63}{m^{2} — 81} = \frac{(m — 7)(m — 9)}{(m — 9)(m + 9)} = \frac{m — 7}{m + 9}, \quad m \neq 9, m \neq -9 \)

4) \( \frac{3a^{2} + a — 2}{4 — 9a^{2}} = \frac{(3a — 2)(a + 1)}{(2 — 3a)(2 + 3a)} = — \frac{a + 1}{3a + 2}, \quad a \neq \frac{2}{3}, a \neq -\frac{2}{3} \)

1) Рассмотрим дробь \( \frac{x^{2} + x — 6}{7x + 21} \). Сначала разложим числитель на множители. Найдем два числа, произведение которых равно \(-6\), а сумма равна \(1\). Это \(3\) и \(-2\), значит \(x^{2} + x — 6 = (x + 3)(x — 2)\). Знаменатель раскладываем так: \(7x + 21 = 7(x + 3)\). Теперь можно сократить общий множитель \(x + 3\), при условии, что \(x \neq -3\). Получаем \( \frac{x — 2}{7} \).

2) Рассмотрим дробь \( \frac{2y — 16}{8 + 7y — y^{2}} \). В числителе вынесем общий множитель: \(2y — 16 = 2(y — 8)\). В знаменателе приведем к стандартному виду: \(8 + 7y — y^{2} = -(y^{2} — 7y — 8)\). Разложим квадратный трехчлен: \(y^{2} — 7y — 8 = (y — 8)(y + 1)\). Значит, знаменатель равен \(- (y — 8)(y + 1)\). Подставляем обратно в дробь и сокращаем общий множитель \(y — 8\), при условии, что \(y \neq 8\). Получаем \( — \frac{2}{y + 1} \), где \(y \neq -1\).

3) Рассмотрим дробь \( \frac{m^{2} — 16m + 63}{m^{2} — 81} \). Найдем корни числителя, решая уравнение \(m^{2} — 16m + 63 = 0\). Дискриминант равен \(D = (-16)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 — 252 = 4\). Корни: \(m_{1} = \frac{16 — 2}{2} = 7\), \(m_{2} = \frac{16 + 2}{2} = 9\). Значит числитель раскладывается как \((m — 7)(m — 9)\). Знаменатель — разность квадратов: \(m^{2} — 81 = (m — 9)(m + 9)\). Сокращаем общий множитель \(m — 9\), при условии, что \(m \neq 9\). Получаем \( \frac{m — 7}{m + 9} \), где \(m \neq -9\).

4) Рассмотрим дробь \( \frac{3a^{2} + a — 2}{4 — 9a^{2}} \). Разложим числитель. Найдем два числа, произведение которых равно \(3 \cdot (-2) = -6\), а сумма равна \(1\). Это \(3\) и \(-2\). Перепишем числитель как \(3a^{2} + 3a — 2a — 2\) и сгруппируем: \(3a(a + 1) — 2(a + 1) = (3a — 2)(a + 1)\). Знаменатель — разность квадратов: \(4 — 9a^{2} = (2 — 3a)(2 + 3a)\). Заметим, что \(3a — 2 = -(2 — 3a)\). Подставляем и сокращаем общий множитель \(2 — 3a\), получаем \( — \frac{a + 1}{3a + 2} \), где \(a \neq \frac{2}{3}\) и \(a \neq -\frac{2}{3}\).