ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 282 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Выполните умножение:
1) \((\sqrt{11} + \sqrt{6})(\sqrt{11} — \sqrt{6})\);
2) \((\sqrt{32} — 5)(\sqrt{32} + 5)\);
3) \((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\);
4) \((\sqrt{10} + 8)^2\).

1) \((\sqrt{11} + \sqrt{6})(\sqrt{11} — \sqrt{6}) = 11 — 6 = 5\)

2) \((\sqrt{32} — 5)(\sqrt{32} + 5) = 32 — 25 = 7\)

3) \((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}\)

4) \((\sqrt{10} + 8)^2 = (\sqrt{10})^2 + 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 8 + 8^2 = 10 + 16\sqrt{10} + 64 = 74 + 16\sqrt{10}\)

1) Рассмотрим выражение \((\sqrt{11} + \sqrt{6})(\sqrt{11} — \sqrt{6})\). Здесь мы видим произведение двух выражений, которые отличаются только знаком между слагаемыми. Это классический пример применения формулы разности квадратов, которая гласит, что произведение суммы и разности одинаковых выражений равно разности квадратов этих выражений. То есть, \((a + b)(a — b) = a^2 — b^2\). В нашем случае \(a = \sqrt{11}\), \(b = \sqrt{6}\).

Теперь возьмём квадрат каждого из этих выражений. Квадрат корня из числа — это само число, так как \((\sqrt{x})^2 = x\). Значит, \((\sqrt{11})^2 = 11\) и \((\sqrt{6})^2 = 6\). Подставим эти значения в формулу: \(11 — 6\). Выполним вычитание: \(11 — 6 = 5\). Таким образом, исходное выражение равно 5.

2) Рассмотрим выражение \((\sqrt{32} — 5)(\sqrt{32} + 5)\). Здесь также применяется формула разности квадратов, поскольку у нас произведение суммы и разности одинаковых выражений. Обозначим \(a = \sqrt{32}\), \(b = 5\). Тогда по формуле: \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\).

Вычислим квадраты: \((\sqrt{32})^2 = 32\) и \(5^2 = 25\). Подставим в формулу: \(32 — 25\). Выполним вычитание: \(32 — 25 = 7\). Следовательно, значение выражения равно 7.

3) Теперь рассмотрим выражение \((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\). Это квадрат суммы, для которого действует формула \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Здесь \(a = \sqrt{5}\), \(b = \sqrt{3}\).

Вычислим каждый член: \(a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5\), \(b^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\), а произведение \(2ab = 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}\). Произведение корней можно записать как корень из произведения: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{15}\). Значит, \(2ab = 2\sqrt{15}\).

Сложим всё вместе: \(5 + 2\sqrt{15} + 3\). Сложим числа: \(5 + 3 = 8\). Итоговое выражение: \(8 + 2\sqrt{15}\).

4) Рассмотрим выражение \((\sqrt{10} + 8)^2\). Это также квадрат суммы, где \(a = \sqrt{10}\), \(b = 8\). По формуле: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Вычислим каждый член: \(a^2 = (\sqrt{10})^2 = 10\), \(b^2 = 8^2 = 64\), а произведение \(2ab = 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 8 = 16\sqrt{10}\).

Теперь сложим все части: \(10 + 16\sqrt{10} + 64\). Сложим числа: \(10 + 64 = 74\). Значит, итоговый результат: \(74 + 16\sqrt{10}\).