ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 283 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Два экскаватора разных моделей вырыли котлован за 8 ч. Первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть такой котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может вырыть такой котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

Пусть \(x\) — время, за которое первый экскаватор выкопает котлован, тогда второй выкопает за \(y = 4x\).

За 1 час первый выкопает \(\frac{1}{x}\), второй — \(\frac{1}{y}\).

Вместе они выкопали за 8 часов, значит за 1 час делают \(\frac{1}{8}\) работы:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\).

Подставляем \(y = 4x\):

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{4x} = \frac{1}{8}\).

\(\frac{4}{4x} + \frac{1}{4x} = \frac{1}{8}\).

\(\frac{5}{4x} = \frac{1}{8}\).

Перемножаем:

\(5 \cdot 8 = 4x\).

\(40 = 4x\).

\(x = 10\).

Тогда \(y = 4 \cdot 10 = 40\).

Ответ: \(10\) ч и \(40\) ч.

Пусть \(x\) — время, за которое первый экскаватор выкопает весь котлован, работая самостоятельно. Это означает, что если первый экскаватор будет работать без помощи второго, он справится с задачей ровно за \(x\) часов. Второй экскаватор, согласно условию, работает в 4 раза медленнее первого. Значит, чтобы выкопать тот же самый котлован, ему потребуется в 4 раза больше времени, то есть \(y = 4x\) часов. Таким образом, мы выражаем продолжительность работы второго экскаватора через переменную \(x\), которая обозначает время работы первого.

Теперь рассмотрим, сколько работы выполняет каждый экскаватор за один час. Первый экскаватор за один час выполняет часть работы, равную \(\frac{1}{x}\) котлована, а второй — \(\frac{1}{y}\). Эти дроби показывают долю работы, которую каждый экскаватор делает за единицу времени. Если оба экскаватора работают вместе, они суммируют свои усилия. Из условия известно, что вместе они выкопали котлован за 8 часов, значит за один час они выполняют \(\frac{1}{8}\) всей работы. Следовательно, сумма их работы за один час равна \(\frac{1}{8}\), то есть \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\).

Подставим выражение для \(y\) в уравнение: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{4x} = \frac{1}{8}\). Чтобы сложить дроби слева, приведём их к общему знаменателю \(4x\): \(\frac{4}{4x} + \frac{1}{4x} = \frac{1}{8}\). Теперь сложим числители: \(\frac{5}{4x} = \frac{1}{8}\). Чтобы найти \(x\), перемножим крест-накрест: \(5 \cdot 8 = 4x\), откуда следует \(40 = 4x\). Разделим обе части уравнения на 4: \(x = 10\). Значит, первый экскаватор справится с работой за 10 часов. Тогда второй экскаватор, который работает в 4 раза медленнее, выполнит работу за \(y = 4 \cdot 10 = 40\) часов.

Ответ: первый экскаватор выкопает котлован за 10 часов, второй — за 40 часов.