ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 286 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы \(y = 3x^2\) и прямой:
1) \(y = 300\);
2) \(y = 42x\);
3) \(y = -150x\);
4) \(y = 6 — 3x\).

1) \(y = 3x^2\), \(y = 300\);
\(3x^2 = 300\), \(x^2 = 100\);
\(x = \pm \sqrt{100} = \pm 10\);
Ответ: \((-10; 300)\), \((10; 300)\).

2) \(y = 3x^2\), \(y = 42x\);
\(3x^2 = 42x\), \(3x^2 — 42x = 0\), \(3x(x — 14) = 0\);
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 14\);
\(y_1 = 0\), \(y_2 = 3 \cdot 14^2 = 588\);
Ответ: \((0; 0)\), \((14; 588)\).

3) \(y = 3x^2\), \(y = -150x\);
\(3x^2 = -150x\), \(3x^2 + 150x = 0\), \(3x(x + 50) = 0\);
\(x_1 = 0\), \(x_2 = -50\);
\(y_1 = 0\), \(y_2 = 3 \cdot (-50)^2 = 7500\);
Ответ: \((0; 0)\), \((-50; 7500)\).

4) \(y = 3x^2\), \(y = 6 — 3x\);
\(3x^2 = 6 — 3x\), \(3x^2 + 3x — 6 = 0\), \(x^2 + x — 2 = 0\);
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\);
\(x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\);
\(y_1 = 6 — 3 \cdot (-2) = 12\), \(y_2 = 6 — 3 \cdot 1 = 3\);
Ответ: \((-2; 12)\), \((1; 3)\).

1) Дана парабола \(y = 3x^2\) и прямая \(y = 300\). Чтобы найти точки пересечения, приравниваем правые части уравнений: \(3x^2 = 300\). Делим обе части на 3: \(x^2 = 100\). Теперь извлекаем корень: \(x = \pm \sqrt{100} = \pm 10\). Подставляем найденные значения \(x\) в уравнение прямой, получаем точки пересечения: \((-10; 300)\) и \((10; 300)\).

2) Для параболы \(y = 3x^2\) и прямой \(y = 42x\) приравниваем: \(3x^2 = 42x\). Переносим все в одну сторону: \(3x^2 — 42x = 0\). Вынесем общий множитель за скобки: \(3x(x — 14) = 0\). Отсюда \(x = 0\) или \(x = 14\). Подставляем в уравнение параболы: при \(x = 0\), \(y = 3 \cdot 0^2 = 0\); при \(x = 14\), \(y = 3 \cdot 14^2 = 3 \cdot 196 = 588\). Точки пересечения: \((0; 0)\) и \((14; 588)\).

3) Для параболы \(y = 3x^2\) и прямой \(y = -150x\) приравниваем: \(3x^2 = -150x\). Переносим все в одну сторону: \(3x^2 + 150x = 0\). Вынесем общий множитель: \(3x(x + 50) = 0\). Решаем: \(x = 0\) или \(x = -50\). Находим \(y\): при \(x = 0\), \(y = 0\); при \(x = -50\), \(y = 3 \cdot (-50)^2 = 3 \cdot 2500 = 7500\). Точки пересечения: \((0; 0)\) и \((-50; 7500)\).

4) Для параболы \(y = 3x^2\) и прямой \(y = 6 — 3x\) приравниваем: \(3x^2 = 6 — 3x\). Переносим все в одну сторону: \(3x^2 + 3x — 6 = 0\). Делим уравнение на 3: \(x^2 + x — 2 = 0\). Находим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Извлекаем корень из дискриминанта: \(\sqrt{9} = 3\). Находим корни: \(x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\). Подставляем в уравнение прямой: при \(x = -2\), \(y = 6 — 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12\); при \(x = 1\), \(y = 6 — 3 \cdot 1 = 3\). Точки пересечения: \((-2; 12)\) и \((1; 3)\).