ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 296 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = x^2\). Используя этот график, постройте график функции:

1) \(y = 3x^2\);

2) \(y = -\frac{1}{4}x^2\).

1) \( y = 3x^{2} \)
График функции \( y = x^{2} \) сжимается по вертикали в 3 раза. Значит, для каждого \( x \) значение \( y \) умножается на 3. Парабола становится уже и выше.

2) \( y = -\frac{1}{4}x^{2} \)
График функции \( y = x^{2} \) растягивается по вертикали в 4 раза и отражается относительно оси \( x \) (так как коэффициент отрицательный). Парабола становится шире и направлена вниз.

1) Рассмотрим функцию \( y = 3x^{2} \). Исходная функция \( y = x^{2} \) задаёт параболу с вершиной в точке \( (0;0) \), ветви которой направлены вверх. При умножении функции на число 3 каждое значение \( y \) увеличивается в 3 раза по сравнению с исходным. Это значит, что для любого значения \( x \) теперь \( y = 3 \times x^{2} \). Визуально это приводит к тому, что парабола становится уже, потому что при фиксированном значении \( x \) значение \( y \) увеличивается, и график «стягивается» ближе к оси \( y \). Чем больше коэффициент перед \( x^{2} \), тем быстрее растут значения функции, и тем уже становится парабола. Таким образом, график \( y = 3x^{2} \) — это более узкая и более «крутая» парабола по сравнению с графиком \( y = x^{2} \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = -\frac{1}{4}x^{2} \). Здесь коэффициент при \( x^{2} \) отрицательный, равный \( -\frac{1}{4} \), что влияет на форму и направление параболы. Отрицательный знак перед функцией меняет направление ветвей параболы: они теперь направлены вниз, так как для любого \( x \) значение \( y \) будет отрицательным (кроме \( x = 0 \)). Модуль коэффициента \( \frac{1}{4} \) меньше 1, что означает, что значения функции растут медленнее по сравнению с \( y = x^{2} \). Это приводит к тому, что парабола становится шире — она «растягивается» в горизонтальном направлении, так как при фиксированном \( y \) значение \( x \) увеличивается. Чем меньше по модулю коэффициент при \( x^{2} \), тем шире парабола. Итог: график \( y = -\frac{1}{4}x^{2} \) — это парабола, направленная вниз и более широкая, чем график \( y = x^{2} \).

3) Для лучшего понимания можно представить, что график функции \( y = x^{2} \) — это эталон, от которого мы отталкиваемся. При умножении на положительное число больше 1, как в случае с \( y = 3x^{2} \), значения \( y \) увеличиваются, и график становится уже и круче, так как точки удаляются от оси \( x \) быстрее. При умножении на отрицательное число с модулем меньше 1, как в функции \( y = -\frac{1}{4}x^{2} \), график отражается относительно оси \( x \) (становится перевёрнутым) и растягивается по горизонтали, становясь шире и более пологим. Эти преобразования помогают понять, как коэффициенты влияют на форму и направление параболы.