ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 297 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = \sqrt{x}\). Используя этот график, постройте график функции:

1) \(y = 4\sqrt{x}\);

2) \(y = -\sqrt{x}\).

1) \( y = 4\sqrt{x} \)
График функции \( y = \sqrt{x} \) растягивается по оси \( y \) в 4 раза. При \( x = 0 \), \( y = 0 \). При \( x = 1 \), \( y = 4 \cdot 1 = 4 \). При \( x = 4 \), \( y = 4 \cdot 2 = 8 \). График начинается в точке (0;0) и идёт вверх.

2) \( y = -\sqrt{x} \)
График функции \( y = \sqrt{x} \) отражается относительно оси \( x \). При \( x = 0 \), \( y = 0 \). При \( x = 1 \), \( y = -1 \). При \( x = 4 \), \( y = -2 \). График начинается в точке (0;0) и идёт вниз.

1) Рассмотрим функцию \( y = 4\sqrt{x} \). В этой функции значение исходной функции \( y = \sqrt{x} \) умножается на 4, что означает растяжение графика по оси \( y \) в 4 раза. Это значит, что при любом значении \( x \) значение \( y \) будет в 4 раза больше, чем у функции \( y = \sqrt{x} \). Например, при \( x = 0 \) вычисляем \( y = 4\sqrt{0} = 4 \cdot 0 = 0 \). Здесь график начинается в точке (0;0), так как корень из нуля равен нулю, и умножение на 4 не меняет результат. При \( x = 1 \) получаем \( y = 4\sqrt{1} = 4 \cdot 1 = 4 \). Это значит, что в точке с координатой \( x = 1 \) значение функции равно 4, что значительно выше, чем у функции \( y = \sqrt{x} \), где значение равно 1. При \( x = 4 \) вычисляем \( y = 4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8 \). Здесь видно, что при увеличении \( x \) значение \( y \) растёт быстрее, чем у исходной функции. Таким образом, график функции \( y = 4\sqrt{x} \) начинается в точке (0;0) и поднимается вверх, но делает это быстрее, чем график \( y = \sqrt{x} \), из-за множителя 4.

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = -\sqrt{x} \). Эта функция получается из исходной функции \( y = \sqrt{x} \) путём умножения на -1, то есть отражением графика относительно оси \( x \). Это значит, что все точки графика функции \( y = \sqrt{x} \) будут отображены зеркально вниз. При \( x = 0 \) вычисляем \( y = -\sqrt{0} = 0 \). В этой точке график обеих функций совпадает, так как корень из нуля равен нулю, и знак минус не меняет значение. При \( x = 1 \) получаем \( y = -\sqrt{1} = -1 \). Здесь видно, что если у функции \( y = \sqrt{x} \) значение было 1, то у функции \( y = -\sqrt{x} \) оно стало -1, то есть отражено вниз. При \( x = 4 \) вычисляем \( y = -\sqrt{4} = -2 \). Значение функции стало отрицательным, и график идёт вниз, противоположно графику исходной функции. Таким образом, график функции \( y = -\sqrt{x} \) начинается в точке (0;0) и идёт вниз, отражая график \( y = \sqrt{x} \) относительно оси \( x \).

3) В итоге, обе функции связаны с базовым графиком функции \( y = \sqrt{x} \), но изменены по-разному. Функция \( y = 4\sqrt{x} \) показывает, как растяжение по оси \( y \) влияет на график — он становится выше при тех же значениях \( x \). Это полезно, когда нужно увеличить скорость роста функции. Функция \( y = -\sqrt{x} \) демонстрирует отражение графика относительно оси \( x \), что меняет знак значений функции на противоположный. Это отражение важно для понимания симметрии графиков и преобразований функций. Оба преобразования сохраняют форму корня, но меняют расположение графика на координатной плоскости.