ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 298 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что функция \(y = ax^2\) при \(a > 0\) убывает на промежутке \((-\infty; 0]\) и возрастает на промежутке \([0; +\infty)\).

Дана функция \( y = a x^2 \), \( a > 0 \).

1) Убывает на \((-\infty; 0]\):

Пусть \( x_1 < x_2 \leq 0 \), тогда

\( d = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Так как \( a > 0 \), \( x_2 — x_1 > 0 \), а \( x_2 + x_1 \leq 0 \), то

\( d < 0 \).

2) Возрастает на \([0; +\infty)\):

Пусть \( x_2 > x_1 \geq 0 \), тогда

\( d = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Так как \( a > 0 \), \( x_2 — x_1 > 0 \), и \( x_2 + x_1 \geq 0 \), то

\( d > 0 \).

Что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим функцию \( y = a x^2 \), где \( a > 0 \). Нужно доказать, что она убывает на промежутке \((-\infty; 0]\).

Пусть выбраны два числа \( x_1 \) и \( x_2 \) такие, что \( x_1 < x_2 \leq 0 \). Тогда вычислим разность значений функции в этих точках:

\( d = y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2^2 — x_1^2) \).

Используем формулу разности квадратов:

\( x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Так как \( a > 0 \), знак \( d \) совпадает со знаком произведения \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Поскольку \( x_1 < x_2 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \). Но \( x_2 \leq 0 \) и \( x_1 < x_2 \), значит \( x_2 + x_1 \leq 0 \).

Следовательно, произведение \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) < 0 \), а значит \( d < 0 \). Это означает, что при возрастании \( x \) от \( x_1 \) к \( x_2 \) значение функции уменьшается, то есть функция убывает на \((-\infty; 0]\).

2) Теперь докажем, что функция возрастает на промежутке \([0; +\infty)\).

Пусть выбраны числа \( x_1 \) и \( x_2 \) такие, что \( 0 \leq x_1 < x_2 \). Тогда разность значений функции:

\( d = y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2^2 — x_1^2) \).

Опять используем формулу разности квадратов:

\( x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Так как \( a > 0 \), знак \( d \) совпадает со знаком произведения \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \). При этом \( x_1 \geq 0 \), значит \( x_2 + x_1 \geq 0 \).

Следовательно, произведение \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) > 0 \), и значит \( d > 0 \). Это означает, что при возрастании \( x \) от \( x_1 \) к \( x_2 \) значение функции увеличивается, то есть функция возрастает на \([0; +\infty)\).

Таким образом, мы доказали, что функция \( y = a x^2 \), \( a > 0 \), убывает на \((-\infty; 0]\) и возрастает на \([0; +\infty)\).