ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 299 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что функция \(y = ax^2\) при \(a < 0\) возрастает на промежутке \((-\infty; 0]\) и убывает на промежутке \([0; +\infty)\).

Дана функция \( y = ax^2, a < 0 \).

1) Возрастает на \((-\infty; 0]\): пусть \( x_1 < x_2 \leq 0 \), тогда

\( d = y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2^2 — x_1^2) = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Так как \( a < 0 \), \( x_2 — x_1 > 0 \), а \( x_2 + x_1 \leq 0 \), то

\( d = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) > 0 \).

2) Убывает на \([0; +\infty)\): пусть \( x_2 > x_1 \geq 0 \), тогда

\( d = a (x_2^2 — x_1^2) = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Так как \( a < 0 \), \( x_2 — x_1 > 0 \), \( x_2 + x_1 \geq 0 \), то

\( d = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) < 0 \).

Что и требовалось доказать.

1) Пусть дана функция \( y = ax^2 \), где \( a < 0 \). Нужно доказать, что она возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — любые числа из промежутка \( (-\infty; 0] \), такие что \( x_1 < x_2 \leq 0 \). Рассмотрим разницу значений функции в этих точках:

\( d = y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2^2 — x_1^2) \).

Используем формулу разности квадратов:

\( x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Так как \( x_1 < x_2 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \). Поскольку оба числа \( x_1 \) и \( x_2 \) не больше нуля, то сумма \( x_2 + x_1 \leq 0 \).

Значит, произведение \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \leq 0 \).

Учитывая, что \( a < 0 \), получаем:

\( d = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) > 0 \),

потому что произведение отрицательного числа \( a \) на неположительное число \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \) даёт положительный результат.

Это значит, что при увеличении \( x \) на промежутке \( (-\infty; 0] \) значение функции \( y \) возрастает.

2) Теперь докажем, что функция убывает на промежутке \( [0; +\infty) \).

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — любые числа из промежутка \( [0; +\infty) \), такие что \( x_2 > x_1 \geq 0 \). Рассмотрим разницу значений функции:

\( d = y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2^2 — x_1^2) = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).

Здесь \( x_2 — x_1 > 0 \) и \( x_2 + x_1 \geq 0 \), значит произведение \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) > 0 \).

Поскольку \( a < 0 \), то

\( d = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) < 0 \).

Это означает, что при увеличении \( x \) на промежутке \( [0; +\infty) \) значение функции \( y \) убывает.

Таким образом, доказано, что функция \( y = ax^2 \) с \( a < 0 \) возрастает на \( (-\infty; 0] \) и убывает на \( [0; +\infty) \).