ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 302 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\(\left(\frac{m — n}{m^2 + mn} — \frac{m}{mn + n^2}\right) : \left(\frac{n^2}{m^3 — mn^2} + \frac{1}{m + n}\right) = \frac{n — m}{n}\).

\(\left(\frac{m — n}{m^{2} + mn} — \frac{m}{mn + n^{2}}\right) : \left(\frac{n^{2}}{m^{3} — mn^{2}} + \frac{1}{m + n}\right) =\)

\(\left(\frac{m — n}{m(m + n)} — \frac{m}{n(m + n)}\right) : \left(\frac{n^{2}}{m(m^{2} — n^{2})} + \frac{1}{m + n}\right) =\)

\(\left(\frac{n(m — n) — m^{2}}{mn(m + n)}\right) : \left(\frac{n^{2} + m(m — n)}{m(m — n)(m + n)}\right) =\)

\(\frac{n(m — n) — m^{2}}{mn(m + n)} \cdot \frac{m(m — n)(m + n)}{n^{2} + m^{2} — mn} =\)

\(\frac{mn — n^{2} — m^{2}}{mn(m + n)} \cdot \frac{m(m — n)(m + n)}{n^{2} + m^{2} — mn} =\)

\(\frac{-(m^{2} + n^{2} — mn)}{mn(m + n)} \cdot \frac{m(m — n)(m + n)}{m^{2} + n^{2} — mn} =\)

\(-\frac{m — n}{n} = \frac{n — m}{n}\)

Что и требовалось доказать.

1. Запишем выражение:
\(\left(\frac{m — n}{m^{2} + mn} — \frac{m}{mn + n^{2}}\right) : \left(\frac{n^{2}}{m^{3} — mn^{2}} + \frac{1}{m + n}\right)\)

2. Приведём знаменатели в первой скобке к общему виду:
\(m^{2} + mn = m(m + n)\),
\(mn + n^{2} = n(m + n)\).
Тогда:
\(\frac{m — n}{m(m + n)} — \frac{m}{n(m + n)} = \frac{n(m — n)}{mn(m + n)} — \frac{m^{2}}{mn(m + n)}\)

3. Вычитаем числители:
\(\frac{n(m — n) — m^{2}}{mn(m + n)} = \frac{mn — n^{2} — m^{2}}{mn(m + n)}\)

4. Упростим знаменатель во второй скобке:
\(m^{3} — mn^{2} = m(m^{2} — n^{2}) = m(m — n)(m + n)\)

5. Приведём вторую скобку к общему знаменателю:
\(\frac{n^{2}}{m(m — n)(m + n)} + \frac{1}{m + n} = \frac{n^{2}}{m(m — n)(m + n)} + \frac{m(m — n)}{m(m — n)(m + n)}\)

6. Складываем числители:
\(\frac{n^{2} + m(m — n)}{m(m — n)(m + n)} = \frac{n^{2} + m^{2} — mn}{m(m — n)(m + n)}\)

7. Деление превращаем в умножение на обратное:
\(\frac{mn — n^{2} — m^{2}}{mn(m + n)} \cdot \frac{m(m — n)(m + n)}{n^{2} + m^{2} — mn}\)

8. Сократим \(m + n\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{mn — n^{2} — m^{2}}{mn} \cdot \frac{m(m — n)}{n^{2} + m^{2} — mn}\)

9. Перепишем числитель первого дробного выражения:
\(mn — n^{2} — m^{2} = -(m^{2} + n^{2} — mn)\)

10. Подставим и сократим одинаковые выражения:
\(-\frac{m^{2} + n^{2} — mn}{mn} \cdot \frac{m(m — n)}{m^{2} + n^{2} — mn} = -\frac{m(m — n)}{mn} = -\frac{m — n}{n} = \frac{n — m}{n}\)