ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 327 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задайте формулой вида \( y = a(x + m)^2 + n \) функцию, график которой изображён на рисунке 57.

а) \( A(-2; -4), B(0; 0) \)
\( m = -x_0 = 2, n = y_0 = -4 \)
\( 0 = a \cdot (0 + 2)^2 — 4 \Rightarrow 0 = 4a — 4 \Rightarrow a = 1 \)
\( y = (x + 2)^2 — 4 \)

б) \( A(2; 5), B(0; 1) \)
\( m = -x_0 = -2, n = y_0 = 5 \)
\( 1 = a \cdot (0 — 2)^2 + 5 \Rightarrow 1 = 4a + 5 \Rightarrow a = -1 \)
\( y = -(x — 2)^2 + 5 \)

в) \( A(3; 1), B(0; 4) \)
\( m = -x_0 = -3, n = y_0 = 1 \)
\( 4 = a \cdot (0 — 3)^2 + 1 \Rightarrow 4 = 9a + 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3} \)
\( y = \frac{1}{3}(x — 3)^2 + 1 \)

1) Рассмотрим график а). Вершина параболы — это точка \( A(-2; -4) \). Для уравнения параболы в виде \( y = a(x + m)^2 + n \) координаты вершины задают значения \( m \) и \( n \) по формулам \( m = -x_0 \) и \( n = y_0 \). Здесь \( x_0 = -2 \), значит \( m = 2 \), а \( y_0 = -4 \), значит \( n = -4 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( y = a(x + 2)^2 — 4 \). Это важно, потому что вершина задает положение параболы на плоскости и сдвигает её относительно оси \( x \).

2) Для нахождения коэффициента \( a \) используем точку \( B(0; 0) \), которая принадлежит графику. Подставляем её координаты в уравнение: \( 0 = a(0 + 2)^2 — 4 \). Вычисляем квадрат: \( (0 + 2)^2 = 4 \), тогда уравнение становится \( 0 = 4a — 4 \). Приравниваем к нулю и решаем: \( 4a = 4 \), откуда \( a = 1 \). Этот коэффициент показывает, насколько «широкая» или «узкая» парабола: при \( a = 1 \) она стандартной ширины и направлена вверх.

3) Итоговое уравнение для графика а) — \( y = (x + 2)^2 — 4 \). Здесь отражено смещение вершины на 2 единицы влево и 4 единицы вниз, а форма параболы соответствует стандартной ветвью вверх.

4) Для графика б) вершина находится в точке \( A(2; 5) \). По аналогии с предыдущим случаем, \( m = -x_0 = -2 \), \( n = y_0 = 5 \), значит уравнение принимает вид \( y = a(x — 2)^2 + 5 \). Это означает, что парабола сдвинута вправо на 2 единицы и вверх на 5 единиц.

5) Чтобы найти \( a \), подставляем точку \( B(0; 1) \) в уравнение: \( 1 = a(0 — 2)^2 + 5 \). Вычисляем квадрат: \( (0 — 2)^2 = 4 \), тогда \( 1 = 4a + 5 \). Вычитаем 5 из обеих частей: \( 4a = 1 — 5 = -4 \), следовательно, \( a = -1 \). Отрицательное значение \( a \) указывает, что парабола направлена ветвями вниз, то есть перевёрнута относительно оси \( x \).

6) Уравнение графика б) — \( y = -(x — 2)^2 + 5 \). Здесь отражено смещение вершины и направление ветвей вниз, что соответствует найденному коэффициенту \( a \).

7) Для графика в) вершина в точке \( A(3; 1) \), значит \( m = -3 \), \( n = 1 \), и уравнение имеет вид \( y = a(x — 3)^2 + 1 \). Это сдвиг параболы вправо на 3 единицы и вверх на 1 единицу.

8) Подставим точку \( B(0; 4) \) для нахождения \( a \): \( 4 = a(0 — 3)^2 + 1 \). Квадрат равен \( 9 \), тогда \( 4 = 9a + 1 \). Вычитаем 1: \( 9a = 3 \), значит \( a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \). Положительное значение \( a \), меньшее 1, говорит о том, что парабола шире стандартной.

9) Итоговое уравнение для графика в) — \( y = \frac{1}{3}(x — 3)^2 + 1 \). Такое уравнение отражает смещение вершины и более пологую форму параболы.

10) В итоге получаем три уравнения:
а) \( y = (x + 2)^2 — 4 \)
б) \( y = -(x — 2)^2 + 5 \)
в) \( y = \frac{1}{3}(x — 3)^2 + 1 \)
Каждое уравнение полностью описывает форму и положение соответствующей параболы на координатной плоскости.

1) На рисунке 56а дана функция вида \( y = a(x + m)^2 \). Из графика видно, что вершина параболы в точке \( A(-4; 0) \). Значит, подставляем вершину в формулу: \( 0 = a(-4 + m)^2 \). Чтобы это равенство было верным, выражение в скобках должно быть равно нулю, значит \( m = 4 \).

2) Далее подставляем координаты точки \( B(0; 8) \), которая лежит на графике: \( 8 = a(0 + 4)^2 \). Выражаем \( a \): \( 8 = 16a \), откуда \( a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \).

3) Записываем уравнение функции: \( y = \frac{1}{2}(x + 4)^2 \).

4) На рисунке 56б дана функция вида \( y = a(x + m)^2 \). Вершина параболы находится в точке \( A(1; 0) \). Подставляем вершину в уравнение: \( 0 = a(1 + m)^2 \). Значит \( m = -1 \).

5) Подставляем точку \( B(0; -2) \), которая лежит на графике: \( -2 = a(0 — 1)^2 \). Выражаем \( a \): \( -2 = a \cdot 1 \), значит \( a = -2 \).

6) Записываем уравнение функции: \( y = -2(x — 1)^2 \).