ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 329 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

1) \( (x — 1)^2 = 2 \);

2) \( 1 — x^2 = \sqrt{x — 1} \).

1) \((x-1)^2 = \frac{2}{x}\)

Умножим обе части на \(x\), чтобы избавиться от дроби:
\(x(x-1)^2 = 2\)

Подставим \(x=2\):
\(2(2-1)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2\) — верно.

Ответ: \(x = 2\)

2) \(1 — x^2 = \sqrt{x-1}\)

Подставим \(x=1\):
\(1 — 1^2 = 1 — 1 = 0\)
\(\sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0\) — верно.

Ответ: \(x = 1\)

1) Рассмотрим уравнение \((x-1)^2 = \frac{2}{x}\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на \(x\), при условии что \(x \neq 0\). Получим: \(x(x-1)^2 = 2\).

Раскроем скобки: \((x-1)^2 = x^2 — 2x + 1\), тогда уравнение принимает вид: \(x(x^2 — 2x + 1) = 2\).

Раскроем скобки: \(x^3 — 2x^2 + x = 2\).

Перенесём всё в одну сторону: \(x^3 — 2x^2 + x — 2 = 0\).

Попробуем подобрать корни. Подставим \(x=2\): \(2^3 — 2 \cdot 2^2 + 2 — 2 = 8 — 8 + 2 — 2 = 0\), значит \(x=2\) — корень уравнения.

Ответ: \(x = 2\).

2) Рассмотрим уравнение \(1 — x^2 = \sqrt{x-1}\). Область определения: \(x — 1 \geq 0\), значит \(x \geq 1\).

Подставим \(x=1\): \(1 — 1^2 = 1 — 1 = 0\), \(\sqrt{1 — 1} = \sqrt{0} = 0\), равенство выполняется.

Проверим, существуют ли другие решения. Левая часть убывает при увеличении \(x\), правая — растёт. Следовательно, пересечение только в \(x=1\).

Ответ: \(x = 1\).