ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 33 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сравните с нулём значение выражения, где \(a\) – произвольное число:

1) \(4 + a^2\); 4) \(-4 — (a — 4)^2\);

2) \((4 — a)^2\); 5) \((-4)^5 + (a — 8)^4\);

3) \(-4 — a^2\); 6) \((4 — a)^4 + (4a — 1000)^2\).

1) \(4 + a^2 > 0\), так как \(a^2 \geq 0\), значит сумма больше 4, а значит больше 0.

2) \((4 — a)^2 \geq 0\), квадрат любого числа неотрицателен.

3) \(-4 — a^2 < 0\), так как \(a^2 \geq 0\), значит \(-a^2 \leq 0\), а \(-4 — a^2 \leq -4 < 0\).

4) \(-4 — (a — 4)^2 < 0\), квадрат неотрицателен, значит сумма меньше -4, то есть меньше 0.

5) \((-4)^5 + (a — 8)^4 = -1024 + (a — 8)^4\). При \(a=8\) выражение равно \(-1024 < 0\), при больших \(a\) выражение может стать положительным, значит знак зависит от \(a\).

6) \((4 — a)^4 + (4a — 1000)^2 > 0\), так как оба слагаемых неотрицательны и не равны нулю одновременно.

1) Рассмотрим выражение \(4 + a^2\). Квадрат числа \(a^2\) всегда неотрицателен, то есть \(a^2 \geq 0\). Значит, сумма \(4 + a^2\) всегда больше или равна 4. Поскольку 4 — положительное число, то и вся сумма будет положительной, то есть \(4 + a^2 > 0\) для любого \(a\).

2) Теперь рассмотрим \((4 — a)^2\). Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому \((4 — a)^2 \geq 0\) для всех значений \(a\). Это означает, что выражение либо равно нулю, либо положительно.

3) Выражение \(-4 — a^2\) содержит отрицательный знак перед \(a^2\). Так как \(a^2 \geq 0\), то \(-a^2 \leq 0\). Прибавляя к \(-a^2\) число \(-4\), получаем число меньше или равное \(-4\), то есть строго меньше нуля. Значит, \(-4 — a^2 < 0\) для всех \(a\).

4) Рассмотрим \(-4 — (a — 4)^2\). Квадрат \((a — 4)^2 \geq 0\), поэтому выражение \(-4 — (a — 4)^2\) всегда меньше или равно \(-4\). Значит, оно строго отрицательно для любого \(a\).

5) Выражение \((-4)^5 + (a — 8)^4\) состоит из двух частей. Первая часть \((-4)^5 = -1024\) — отрицательное число. Вторая часть \((a — 8)^4 \geq 0\), так как четная степень любого числа неотрицательна. При \(a = 8\) вторая часть равна нулю, и сумма равна \(-1024 < 0\). При увеличении или уменьшении \(a\) вторая часть растёт и может стать больше 1024, тогда сумма станет положительной. Значит, знак выражения зависит от значения \(a\).

6) Рассмотрим \((4 — a)^4 + (4a — 1000)^2\). Оба слагаемых — четные степени, значит они неотрицательны: \((4 — a)^4 \geq 0\) и \((4a — 1000)^2 \geq 0\). Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Чтобы сумма была равна нулю, оба слагаемых должны быть равны нулю одновременно. Это возможно, если \(4 — a = 0\) и \(4a — 1000 = 0\). Из первого уравнения \(a = 4\), из второго \(a = 250\). Так как \(a\) не может быть одновременно 4 и 250, сумма не равна нулю ни при каком \(a\). Значит, \((4 — a)^4 + (4a — 1000)^2 > 0\) для всех \(a\).