ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 331 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямые \( m \) и \( n \), изображённые на рисунке 59, параллельны, причём прямая \( n \) является графиком функции \( y = f(x) \). Какое из утверждений верно:

1) прямая \( m \) является графиком функции \( y = f(x) + b \);

2) прямая \( m \) является графиком функции \( y = f(x — a) \)?

Прямая \( n \) — график функции \( y = f(x) \). Прямая \( m \) параллельна \( n \).

1) Если \( m \to y = f(x) + b \), то график \( m \) — это сдвиг графика \( n \) вверх или вниз на \( b \). Значит, \( m \parallel n \).

2) Если \( m \to y = f(x — a) \), то график \( m \) — это сдвиг графика \( n \) влево или вправо на \( a \). Значит, \( m \parallel n \).

Ответ: оба утверждения верны.

1) Пусть прямая \( n \) является графиком функции \( y = f(x) \). Это значит, что для каждого значения \( x \) на оси абсцисс существует соответствующее значение \( y \), вычисляемое по формуле \( y = f(x) \). Если мы рассматриваем другую прямую \( m \), которая параллельна \( n \), то это означает, что наклон обеих прямых одинаков. Теперь рассмотрим функцию \( y = f(x) + b \), где \( b \) — любое число. При добавлении \( b \) к значению функции в каждой точке \( x \) график функции сдвигается по вертикали на величину \( b \). Это сдвиг вверх, если \( b > 0 \), или вниз, если \( b < 0 \). Важно, что при таком сдвиге форма графика не изменяется, а значит, угловой коэффициент (наклон) остаётся прежним. Следовательно, графики \( y = f(x) \) и \( y = f(x) + b \) будут параллельны, так как их наклоны совпадают.

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = f(x — a) \), где \( a \) — некоторое число. Эта функция получается из \( y = f(x) \) сдвигом графика по горизонтали. Если \( a > 0 \), то график сместится вправо на \( a \) единиц, если \( a < 0 \), то влево. При этом значения функции меняются не по вертикали, а по горизонтали. Важно, что при таком сдвиге форма графика и наклон в каждой точке остаются неизменными, потому что производная функции в точке \( x \) равна производной функции в точке \( x — a \), просто сдвинутой по оси \( x \). Это означает, что касательные к графику в соответствующих точках будут иметь одинаковые углы наклона, а значит, графики функций \( y = f(x) \) и \( y = f(x — a) \) тоже будут параллельны.

3) Таким образом, оба вида сдвигов — по вертикали и по горизонтали — не изменяют наклон графика функции. Первый сдвиг выражается формулой \( y = f(x) + b \), где добавляется число к значению функции, что меняет положение графика по оси \( y \), но не изменяет его наклон. Второй сдвиг — \( y = f(x — a) \) — меняет положение графика по оси \( x \), но сохраняет наклон в каждой точке. Следовательно, если прямая \( m \) параллельна прямой \( n \), которая является графиком функции \( y = f(x) \), то она может быть задана либо формулой \( y = f(x) + b \), либо формулой \( y = f(x — a) \). В обоих случаях графики будут параллельны.

Ответ: оба утверждения верны.