ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 335 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задайте данную функцию формулой вида \( y = \frac{k}{x + a} + b \) и постройте её график, используя график функции \( y = \frac{k}{x} \):

1) \( y = \frac{4x + 14}{x + 1} \);

2) \( y = \frac{7 — x}{x — 2} \).

1) \( y = \frac{4x + 14}{x + 1} \)

\( y = \frac{4(x + 1) + 10}{x + 1} = \frac{4(x + 1)}{x + 1} + \frac{10}{x + 1} = 4 + \frac{10}{x + 1} \)

\( y = \frac{10}{x + 1} + 4 \)

График функции:

2) \( y = \frac{7 — x}{x — 2} \)

\( y = \frac{-x + 7}{x — 2} = \frac{-(x — 2) + 5}{x — 2} = \frac{-(x — 2)}{x — 2} + \frac{5}{x — 2} = -1 + \frac{5}{x — 2} \)

\( y = -1 + \frac{5}{x — 2} \)

График функции:

1) Рассмотрим функцию \( y = \frac{4x + 14}{x + 1} \). Первым шагом мы пытаемся упростить выражение, чтобы лучше понять его структуру и поведение. Для этого выделим в числителе часть, которая совпадает со знаменателем, чтобы разделить дробь на более простые слагаемые. Заметим, что \(4x + 14\) можно представить как сумму двух выражений: \(4(x + 1)\) и остатка \(10\), так как \(4(x + 1) = 4x + 4\), а \(14 — 4 = 10\). Таким образом, \(4x + 14 = 4(x + 1) + 10\).

Теперь подставим это в исходную дробь: \( y = \frac{4(x + 1) + 10}{x + 1} \). По свойствам дробей эту сумму можно разделить на две дроби: \( y = \frac{4(x + 1)}{x + 1} + \frac{10}{x + 1} \). При \(x \neq -1\) первая дробь равна 4, так как числитель и знаменатель совпадают. Значит, функция принимает вид \( y = 4 + \frac{10}{x + 1} \).

Таким образом, мы преобразовали исходную функцию к виду \( y = \frac{10}{x + 1} + 4 \). Это упрощение полезно для анализа графика функции, так как теперь видно, что график представляет собой гиперболу, сдвинутую на 4 единицы вверх по оси \(y\) и на 1 единицу влево по оси \(x\). Вертикальная асимптота находится в точке \(x = -1\), где знаменатель обращается в ноль, а горизонтальная асимптота — это прямая \(y = 4\), к которой график стремится при больших значениях \(x\).

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = \frac{7 — x}{x — 2} \). Для упрощения и лучшего понимания функции нужно преобразовать числитель. Запишем \(7 — x\) в виде \(-x + 7\), чтобы удобнее выделить выражение, похожее на знаменатель. Далее заметим, что \(-x + 7\) можно представить как сумму \(-(x — 2)\) и 5, так как \(-(x — 2) = -x + 2\), а \(7 — 2 = 5\). Значит, \(7 — x = -(x — 2) + 5\).

Подставим это в исходную дробь: \( y = \frac{-(x — 2) + 5}{x — 2} \). По свойствам дробей это можно записать как сумму двух дробей: \( y = \frac{-(x — 2)}{x — 2} + \frac{5}{x — 2} \). При \(x \neq 2\) первая дробь равна \(-1\), так как числитель и знаменатель совпадают с противоположным знаком.

В итоге функция принимает вид \( y = -1 + \frac{5}{x — 2} \). Это упрощение позволяет легко определить поведение графика: вертикальная асимптота находится в точке \(x = 2\), где знаменатель равен нулю, а горизонтальная асимптота — прямая \(y = -1\), к которой график стремится при больших по модулю значениях \(x\). График представляет собой гиперболу, смещённую на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Такое разложение помогает не только анализировать график, но и решать задачи, связанные с функцией, например, находить значения при приближении к асимптотам или вычислять пределы.