ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 337 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сократите дробь:
1) \( \frac{9 + \sqrt{m}}{m — 81} \);
2) \( \frac{\sqrt{27} + \sqrt{45}}{\sqrt{18} + \sqrt{30}} \);
3) \( \frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{5m + 2\sqrt{35mn} + 7n} \);
4) \( \frac{25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}} \).

1) \( \frac{9 + \sqrt{m}}{m — 81} = \frac{9 + \sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 9)(\sqrt{m} + 9)} = \frac{1}{\sqrt{m} — 9} \)

2) \( \frac{\sqrt{27} + \sqrt{45}}{\sqrt{18} + \sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{5}}{3\sqrt{2} + \sqrt{6}\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)

3) \( \frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{5m + 2\sqrt{35mn} + 7n} = \frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{(\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2} = \frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}} \)

4) \( \frac{25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}} = \frac{(5\sqrt{m} + n\sqrt{3})^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}} = 5\sqrt{m} + n\sqrt{3} \)

1) В числителе у нас \(9 + \sqrt{m}\). В знаменателе \(m — 81\). Заметим, что \(m — 81 = (\sqrt{m})^2 — 9^2\), это разность квадратов. Значит, \(m — 81 = (\sqrt{m} — 9)(\sqrt{m} + 9)\). Подставим это в дробь: \( \frac{9 + \sqrt{m}}{(\sqrt{m} — 9)(\sqrt{m} + 9)} \). Теперь можно сократить числитель и знаменатель на \(\sqrt{m} + 9\), так как это одинаковые множители. После сокращения остаётся \( \frac{1}{\sqrt{m} — 9} \).

2) Сначала упростим корни в числителе: \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\), \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). В знаменателе: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\), \(\sqrt{30}\) оставим как есть. Тогда дробь становится \( \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{5}}{3\sqrt{2} + \sqrt{30}} \). Вынесем 3 в числителе: \( \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{3\sqrt{2} + \sqrt{30}} \). Теперь заметим, что \(3\sqrt{2} + \sqrt{30} = \sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})\), так как \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) и \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{30}\). Значит, дробь равна \( \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})} \). Сокращаем на \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) и получаем \( \frac{3}{\sqrt{6}} \). Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \( \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \).

3) В знаменателе у нас \(5m + 2\sqrt{35mn} + 7n\). Это можно представить как полный квадрат, если заметить, что \(5m = (\sqrt{5m})^2\), \(7n = (\sqrt{7n})^2\), а \(2\sqrt{35mn} = 2 \cdot \sqrt{5m} \cdot \sqrt{7n}\). Значит, знаменатель равен \((\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2\). Тогда дробь равна \( \frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{(\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2} = \frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}} \).

4) В числителе \(25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2\). Посмотрим, можно ли представить это как квадрат суммы. Заметим, что \(25m = (5\sqrt{m})^2\), \(3n^2 = (n\sqrt{3})^2\), а \(10n\sqrt{3m} = 2 \cdot 5\sqrt{m} \cdot n\sqrt{3}\). Значит, числитель равен \((5\sqrt{m} + n\sqrt{3})^2\). Тогда дробь равна \( \frac{(5\sqrt{m} + n\sqrt{3})^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}} = 5\sqrt{m} + n\sqrt{3} \).