ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 339 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при положительных значениях \( a \) и \( b \) выполняется неравенство \( a^3 + b^3 \geq a^2 b + ab^2 \).

Дано \(a, b \in (0; +\infty)\).

Доказать неравенство: \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + ab^2\).

Переносим все в одну сторону: \(a^3 + b^3 — a^2 b — ab^2 \geq 0\).

Группируем: \(a^3 — a^2 b + b^3 — ab^2 \geq 0\).

Вынесем общие множители: \(a^2 (a — b) + b^2 (b — a) \geq 0\).

Перепишем: \(a^2 (a — b) — b^2 (a — b) \geq 0\).

Вынесем \((a — b)\): \((a^2 — b^2)(a — b) \geq 0\).

Раскроем разность квадратов: \((a — b)(a + b)(a — b) \geq 0\).

Получаем: \((a — b)^2 (a + b) \geq 0\).

Так как \(a, b > 0\), то \(a + b > 0\), а \((a — b)^2 \geq 0\).

Значит, неравенство верно.

Неравенство доказано.

1. Рассмотрим неравенство \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + ab^2\), где \(a\) и \(b\) — положительные числа. Чтобы понять, почему оно верно, сначала перенесём все члены в одну часть, чтобы получить выражение, которое нужно показать неотрицательным. Запишем это так: \(a^3 + b^3 — a^2 b — ab^2 \geq 0\). Это позволит нам работать с одним выражением, а не с двумя частями неравенства.

2. Теперь внимательно рассмотрим выражение \(a^3 + b^3 — a^2 b — ab^2\). Разобьём его на две группы, чтобы упростить и найти общий множитель. Первая группа — \(a^3 — a^2 b\), вторая — \(b^3 — ab^2\). В каждой группе можно вынести общий множитель: из первой — \(a^2\), из второй — \(b^2\). Получаем: \(a^2 (a — b) + b^2 (b — a)\).

3. Обратим внимание, что во второй части стоит выражение \(b^2 (b — a)\), которое можно переписать как \(-b^2 (a — b)\), так как \(b — a = -(a — b)\). Тогда всё выражение примет вид \(a^2 (a — b) — b^2 (a — b)\). Здесь уже можно вынести за скобки общий множитель \((a — b)\), и останется \((a^2 — b^2)(a — b)\).

4. Следующий шаг — упростить выражение \((a^2 — b^2)(a — b)\). Напомним, что разность квадратов раскладывается как произведение: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Подставляя это, получаем \((a — b)(a + b)(a — b)\), что равносильно \((a — b)^2 (a + b)\).

5. Поскольку \(a\) и \(b\) — положительные числа, то сумма \(a + b\) тоже положительна. Квадрат любого числа неотрицателен, то есть \((a — b)^2 \geq 0\). Следовательно, произведение \((a — b)^2 (a + b)\) неотрицательно, то есть \(\geq 0\). Это и доказывает исходное неравенство \(a^3 + b^3 \geq a^2 b + ab^2\).