ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 349 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f (x) = x — 0.5x^2\). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) при каких значениях \(x\) выполняется неравенство \(f (x) \geq 0\).

1) Найдем точку максимума функции \(f(x) = x — 0.5x^2\). Для этого найдем производную функции:
\(f'(x) = 1 — x\)
Приравняем производную к нулю и найдем точку максимума:
\(1 — x = 0\)
\(x = 1\)
Подставим \(x = 1\) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в точке максимума:
\(f(1) = 1 — 0.5 \cdot 1^2 = 0.5\)
Таким образом, точка максимума функции \(f(x) = x — 0.5x^2\) имеет координаты \((1, 0.5)\).

2) Найдем область значений функции \(f(x) = x — 0.5x^2\). Для этого найдем минимальное и максимальное значения функции на всей области определения.
Минимальное значение функции достигается в точке \(x = 2\):
\(f(2) = 2 — 0.5 \cdot 2^2 = 0\)
Максимальное значение функции достигается в точке \(x = 1\):
\(f(1) = 1 — 0.5 \cdot 1^2 = 0.5\)
Таким образом, область значений функции \(f(x) = x — 0.5x^2\) — отрезок \([0, 0.5]\).

3) Найдем промежуток возрастания функции \(f(x) = x — 0.5x^2\). Для этого найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю:
\(f'(x) = 1 — x = 0\)
\(x = 1\)
Таким образом, функция \(f(x) = x — 0.5x^2\) возрастает на промежутке \((-\infty, 1]\).

4) Найдем значения \(x\), при которых \(f(x) \geq 0\). Для этого решим неравенство \(x — 0.5x^2 \geq 0\):
\(x — 0.5x^2 \geq 0\)
\(x(1 — 0.5x) \geq 0\)
\(x \in [0, 2]\)
Таким образом, функция \(f(x) = x — 0.5x^2\) неотрицательна при \(x \in [0, 2]\).

Рассмотрим функцию \(f(x) = x — 0.5x^2\) более подробно и развернуто.

Для начала, найдем точку максимума этой функции. Для этого необходимо найти производную функции \(f'(x)\) и приравнять ее к нулю. Производная функции \(f(x)\) равна \(f'(x) = 1 — x\). Приравняв производную к нулю, получим \(1 — x = 0\), откуда \(x = 1\). Подставив \(x = 1\) в исходную функцию \(f(x)\), найдем значение функции в точке максимума: \(f(1) = 1 — 0.5 \cdot 1^2 = 0.5\). Таким образом, точка максимума функции \(f(x)\) имеет координаты \((1, 0.5)\).

Далее, рассмотрим область значений функции \(f(x)\). Для этого необходимо найти минимальное и максимальное значения функции на всей области определения. Минимальное значение функции достигается в точке \(x = 2\): \(f(2) = 2 — 0.5 \cdot 2^2 = 0\). Максимальное значение функции достигается в точке \(x = 1\): \(f(1) = 1 — 0.5 \cdot 1^2 = 0.5\). Таким образом, область значений функции \(f(x)\) — отрезок \([0, 0.5]\).

Теперь, определим промежуток возрастания функции \(f(x)\). Для этого найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю: \(f'(x) = 1 — x = 0\), откуда \(x = 1\). Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \((-\infty, 1]\). Кроме того, найдем значения \(x\), при которых \(f(x) \geq 0\), решив неравенство \(x — 0.5x^2 \geq 0\): \(x(1 — 0.5x) \geq 0\), откуда \(x \in [0, 2]\). Таким образом, функция \(f(x)\) неотрицательна при \(x \in [0, 2]\).

Наконец, найдем точки, в которых функция \(f(x)\) принимает нулевое значение. Для этого решим уравнение \(x — 0.5x^2 = 0\): \(x(1 — 0.5x) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 2\). Следовательно, функция \(f(x)\) принимает нулевое значение в точках \((0, 0)\) и \((2, 0)\).

Таким образом, мы подробно рассмотрели свойства функции \(f(x) = x — 0.5x^2\), включая нахождение точки максимума, области значений, промежутка возрастания, значений \(x\), при которых \(f(x) \geq 0\), и точек, в которых функция принимает нулевое значение.