ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 357 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) \(f (x) = 4x^2 — 8x + 3\);

3) \(f (x) = 4 — 12x — 0.3x^2\);

2) \(f(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 2x — 6\);

4) \(f (x) = 7x^2 + 21x\).

1) \(f(x) = 4x^2 — 8x + 3\)
\(x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot 4} = 1\), \(y_0 = 4 — 8 + 3 = -1\)
Ответ: возрастает на \([1, +\infty)\), убывает на \((-\infty, 1]\), \(E(y) = [-1, +\infty)\)

2) \(f(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 2x — 6\)
\(x_0 = \frac{2}{2\cdot (-\frac{1}{5})} = 5\), \(y_0 = -1\)
Ответ: возрастает на \((-\infty, 5]\), убывает на \([5, +\infty)\), \(E(y) = (-\infty, -1]\)

3) \(f(x) = 4 — 12x — 0.3x^2\)
\(x_0 = \frac{-(-12)}{2\cdot (-0.3)} = -20\), \(y_0 = 124\)
Ответ: возрастает на \((-\infty, -20]\), убывает на \([-20, +\infty)\), \(E(y) = (-\infty, 124]\)

4) \(f(x) = 7x^2 + 21x\)
\(x_0 = \frac{-21}{2\cdot 7} = -1.5\), \(y_0 = -\frac{63}{4}\)
Ответ: возрастает на \([-1.5, +\infty)\), убывает на \((-\infty, -1.5]\), \(E(y) = (-\infty, \frac{63}{4}]\)

1) Рассмотрим функцию \(f(x) = 4x^2 — 8x + 3\). Для нахождения критической точки данной функции, мы должны найти значение \(x_0\), при котором производная функции равна нулю. Производная функции \(f(x)\) равна \(f'(x) = 8x — 8\). Приравнивая производную к нулю, получаем \(8x — 8 = 0\), откуда \(x_0 = 1\). Подставляя \(x_0\) в исходную функцию, находим \(y_0 = f(1) = 4 — 8 + 3 = -1\).
Таким образом, критическая точка функции \(f(x)\) находится в точке \((1, -1)\). Далее, необходимо определить интервалы возрастания и убывания функции. На интервале \((-\infty, 1]\) функция убывает, а на интервале \([1, +\infty)\) — возрастает. Область значений функции \(f(x)\) составляет \(E(y) = [-1, +\infty)\).

2) Рассмотрим функцию \(f(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 2x — 6\). Для нахождения критической точки данной функции, мы должны найти значение \(x_0\), при котором производная функции равна нулю. Производная функции \(f(x)\) равна \(f'(x) = -\frac{2}{5}x + 2\). Приравнивая производную к нулю, получаем \(-\frac{2}{5}x + 2 = 0\), откуда \(x_0 = 5\). Подставляя \(x_0\) в исходную функцию, находим \(y_0 = f(5) = -\frac{1}{5}\cdot 5^2 + 2\cdot 5 — 6 = -1\).
Таким образом, критическая точка функции \(f(x)\) находится в точке \((5, -1)\). Далее, необходимо определить интервалы возрастания и убывания функции. На интервале \((-\infty, 5]\) функция возрастает, а на интервале \([5, +\infty)\) — убывает. Область значений функции \(f(x)\) составляет \(E(y) = (-\infty, -1]\).

3) Рассмотрим функцию \(f(x) = 4 — 12x — 0.3x^2\). Для нахождения критической точки данной функции, мы должны найти значение \(x_0\), при котором производная функции равна нулю. Производная функции \(f(x)\) равна \(f'(x) = -12 — 0.6x\). Приравнивая производную к нулю, получаем \(-12 — 0.6x = 0\), откуда \(x_0 = -20\). Подставляя \(x_0\) в исходную функцию, находим \(y_0 = f(-20) = 4 + 240 — 120 = 124\).
Таким образом, критическая точка функции \(f(x)\) находится в точке \((-20, 124)\). Далее, необходимо определить интервалы возрастания и убывания функции. На интервале \((-\infty, -20]\) функция возрастает, а на интервале \([-20, +\infty)\) — убывает. Область значений функции \(f(x)\) составляет \(E(y) = (-\infty, 124]\).

4) Рассмотрим функцию \(f(x) = 7x^2 + 21x\). Для нахождения критической точки данной функции, мы должны найти значение \(x_0\), при котором производная функции равна нулю. Производная функции \(f(x)\) равна \(f'(x) = 14x + 21\). Приравнивая производную к нулю, получаем \(14x + 21 = 0\), откуда \(x_0 = -\frac{21}{14} = -1.5\). Подставляя \(x_0\) в исходную функцию, находим \(y_0 = f(-1.5) = 7\cdot (-1.5)^2 + 21\cdot (-1.5) = \frac{63}{4} — \frac{63}{2} = -\frac{63}{4}\).
Таким образом, критическая точка функции \(f(x)\) находится в точке \((-1.5, -\frac{63}{4})\). Далее, необходимо определить интервалы возрастания и убывания функции. На интервале \([-1.5, +\infty)\) функция возрастает, а на интервале \((-\infty, -1.5]\) — убывает. Область значений функции \(f(x)\) составляет \(E(y) = (-\infty, \frac{63}{4}]\).