ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 358 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) \(f (x) = 2x^2 — 12x + 8\);

2) \(f (x) = 9 + 8x — 0.2x^2\).

1) Функция \(f (x) = 2x^2 — 12x + 8\):

Промежутки монотонности:
— Возрастает на промежутке \([3; +\infty)\)
— Убывает на промежутке \((-\infty; 3)\)

Область значений:
— \(E(y) = [-10; +\infty)\)

2) Функция \(f (x) = 9 + 8x — 0.2x^2\):

Промежутки монотонности:
— Возрастает на промежутке \((-\infty; 20]\)
— Убывает на промежутке \([20; +\infty)\)

Область значений:
— \(E(y) = (-\infty; 89]\)

1) Функция \(f (x) = 2x^2 — 12x + 8\):

Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции.

\(\frac{df}{dx} = 4x — 12\)

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

\(4x — 12 = 0\)

\(4x = 12\)

\(x = 3\)

Теперь определим знаки производной на промежутках \((-\infty; 3)\) и \((3; +\infty)\):

— Для \(x < 3\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{df}{dx} = 4(0) — 12 = -12 < 0\) (функция убывает)
— Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \(\frac{df}{dx} = 4(4) — 12 = 4 > 0\) (функция возрастает)

Таким образом, функция убывает на промежутке \((-\infty; 3)\) и возрастает на промежутке \([3; +\infty)\).

Теперь найдем область значений. Для этого найдем значение функции в критической точке:

\(f(3) = 2(3^2) — 12(3) + 8 = 18 — 36 + 8 = -10\)

Так как функция является параболой, открытой вверх, область значений будет:

\(E(y) = [-10; +\infty)\)

2) Функция \(f (x) = 9 + 8x — 0.2x^2\):

Сначала найдем производную функции:

\(\frac{df}{dx} = 8 — 0.4x\)

Приравняем производную к нулю:

\(8 — 0.4x = 0\)

\(0.4x = 8\)

\(x = 20\)

Теперь определим знаки производной на промежутках \((-\infty; 20)\) и \((20; +\infty)\):

— Для \(x < 20\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{df}{dx} = 8 — 0.4(0) = 8 > 0\) (функция возрастает)
— Для \(x > 20\) (например, \(x = 21\)): \(\frac{df}{dx} = 8 — 0.4(21) = -0.4 < 0\) (функция убывает)

Таким образом, функция возрастает на промежутке \((-\infty; 20]\) и убывает на промежутке \([20; +\infty)\).

Теперь найдем область значений. Для этого найдем значение функции в критической точке:

\(f(20) = 9 + 8(20) — 0.2(20^2) = 9 + 160 — 0.2(400) = 169 — 80 = 89\)

Так как функция является параболой, открытой вниз, область значений будет:

\(E(y) = (-\infty; 89]\)