ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 359 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график данной функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

\(y = \begin{cases} 3 — x, & \text{если } x \leq -2\\ x^2 — 2x — 3, & \text{если } -2 < x < 2\\ -3, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}\)

1. Рассмотрим функцию \(f(x) = -|x + 2| — 3\).

2. Область определения: \(x \in (-\infty, +\infty)\).

3. Область значений: \(y \in (-\infty, -3]\).

4. Производная функции:
\[
f'(x) =
\begin{cases}
-1, & x < -2 \\ 0, & x = -2 \\ -1, & x > -2
\end{cases}.
\]
Функция убывает на интервале \((-\infty, +\infty)\).

5. Точки пересечения с осью \(x\): нет решений.

6. Точка пересечения с осью \(y\):
\[
f(0) = -5.
\]

7. Ключевые точки функции:

8. График функции убывает от \((- \infty, -3)\) до \(-5\) и далее к \(-\infty\).

1. Рассмотрим функцию \(f(x) = -|x + 2| — 3\).

2. Для нахождения области определения функции, заметим, что модуль не имеет ограничений. Следовательно, область определения: \(x \in (-\infty, +\infty)\).

3. Для нахождения области значений, рассмотрим поведение функции. Максимальное значение достигается, когда \(x = -2\):
\[
f(-2) = -|0| — 3 = -3.
\]
Поскольку функция убывает на интервале \((-\infty, -2)\) и убывает до \(-\infty\) на интервале \((-2, +\infty)\), область значений: \(y \in (-\infty, -3]\).

4. Найдем производную функции для анализа монотонности:
\[
f'(x) = -\frac{d}{dx}|x + 2| =
\begin{cases}
-1, & x < -2 \\ 0, & x = -2 \\ -1, & x > -2
\end{cases}.
\]
Таким образом, функция убывает на интервале \((-\infty, +\infty)\).

5. Найдем точки пересечения с осью \(x\):
\[
f(x) = 0 \Rightarrow -|x + 2| — 3 = 0 \Rightarrow |x + 2| = -3.
\]
Поскольку равенство не имеет решений, функция не пересекает ось \(x\).

6. Найдем точки пересечения с осью \(y\):
\[
f(0) = -|0 + 2| — 3 = -2 — 3 = -5.
\]
Точка пересечения с осью \(y\) имеет координаты \((0, -5)\).

7. Анализируя поведение функции, мы видим, что она достигает максимума в точке \(x = -2\) и убывает на обоих интервалах.

8. График функции состоит из одной непрерывной линии, которая достигает максимума в точке \((-2, -3)\) и убывает до \(-\infty\) с обеих сторон.

9. В таблице представлены ключевые точки функции:

10. Таким образом, график функции представлен одной линией, убывающей от \((- \infty, -3)\) до \(-5\) и далее к \(-\infty\).