ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 369 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(b\) промежуток \((-\infty; 2]\) является промежутком возрастания функции \(y = -4x^2 — bx + 5\)?

Задана функция: \( y = -4x^2 — bx + 5 \);

Функция возрастает на промежутке \((-\infty; 2]\), значит вершина параболы в точке \( x_0 = 2 \).

Вершина параболы находится по формуле: \( x_0 = -\frac{b}{2 \cdot (-4)} = \frac{b}{8} \).

Приравниваем к 2: \( \frac{b}{8} = 2 \).

Умножаем обе части на 8: \( b = 16 \).

Ответ: \( 16 \).

1. Рассмотрим функцию \( y = -4x^{2} — bx + 5 \). Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу. Коэффициент при \( x^{2} \) равен \( a = -4 \), он отрицательный, поэтому парабола направлена ветвями вниз. Это значит, что у функции есть вершина — точка максимума, слева от которой функция возрастает, а справа — убывает.

2. Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает, надо найти координату вершины параболы по оси \( x \). Формула для координаты вершины имеет вид \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) — коэффициенты из выражения функции. Подставим в формулу \( a = -4 \), тогда получаем \( x_0 = -\frac{b}{2 \cdot (-4)} = \frac{b}{8} \). Это точка, в которой функция меняет направление с возрастания на убывание.

3. По условию задачи функция должна возрастать на промежутке \( (-\infty; 2] \). Поскольку функция возрастает слева от вершины, а убывает справа, то вершина должна находиться ровно в точке \( x = 2 \). Значит, \( x_0 = 2 \). Приравняем полученное выражение для вершины к 2: \( \frac{b}{8} = 2 \). Умножив обе части на 8, получаем \( b = 16 \). Таким образом, при \( b = 16 \) функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 2] \), что соответствует условию задачи.

4. Важно понять, почему именно вершина определяет промежуток возрастания. Парабола с отрицательным \( a \) имеет форму «горки», и функция возрастает до вершины, а затем убывает после неё. Если вершина находится в точке \( x_0 \), то функция возрастает при \( x < x_0 \) и убывает при \( x > x_0 \). Поэтому, чтобы функция была возрастающей на \( (-\infty; 2] \), вершина должна быть не правее 2, а именно в точке 2, чтобы включить этот конец промежутка.

5. Итог: найденное значение \( b = 16 \) гарантирует, что вершина параболы находится в точке \( x = 2 \), а значит функция возрастает на всем промежутке \( (-\infty; 2] \). Если бы \( b \) было меньше или больше, вершина сместилась бы в другую точку, и условие возрастания на данном промежутке не выполнялось бы.